உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• ஆலோசனை

பித்தகோரியன் தேற்றம் (பித்தகோர்) பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் கணித தேற்றம் மற்றும் பல நடைமுறை பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. எந்தவொரு வலது முக்கோணத்திலும், இரண்டு வலது பக்கங்களின் சதுரங்களின் தொகை ஹைப்போடென்ஸின் சதுரத்திற்கு சமம் என்று தேற்றம் கூறுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், a மற்றும் b மற்றும் ஹைப்போடனூஸ் நீளம் c ஆகியவற்றின் செங்குத்தாக பக்கங்களைக் கொண்ட வலது முக்கோணத்தில், நாம் எப்போதும் இருக்கிறோம் a + b = c. பித்தகோரியன் தேற்றம் அடிப்படை வடிவவியலின் முக்கிய தூண்களில் ஒன்றாகும். ஒரு ஒருங்கிணைந்த விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது போன்ற எண்ணற்ற நடைமுறை பயன்பாடுகள் உள்ளன.

படிகள்

2 இன் முறை 1: சரியான முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் கண்டறியவும்

1. 

   உங்கள் முக்கோணம் சரியான முக்கோணம் என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். பித்தகோரியன் தேற்றம் சரியான முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். எனவே, நீங்கள் தொடர்வதற்கு முன், உங்கள் முக்கோணம் சரியான முக்கோணத்தின் அளவுகோல்களை பூர்த்தி செய்கிறது என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். அதிர்ஷ்டவசமாக, ஒரே ஒரு அளவுகோல் உள்ளது - சரியான முக்கோணமாக இருக்க, அதற்கு 90 டிகிரி கோணம் இருக்க வேண்டும்.
   • காட்சி அறிகுறியாக, சரியான கோணம் பொதுவாக ஒரு சிறிய சதுரத்துடன் குறிக்கப்படுகிறது, ஆனால் ஒரு வட்டம் "வளைவு" அல்ல. முக்கோணத்தின் மூலையில் இந்த சிறப்பு அடையாளத்தைத் தேடுங்கள்.

2. 

   
   
   முக்கோண பக்கங்களை a, b, மற்றும் c என அழைக்கவும். பித்தகோரியன் தேற்றத்தில், a மற்றும் b ஆகியவை வலது கோண பக்கங்களாகும், c என்பது ஹைபோடென்யூஸ் - மிக நீளமான பக்கம் எப்போதும் வலது கோணங்களுக்கு எதிரே இருக்கும். எனவே தொடங்குவதற்கு, a மற்றும் b முக்கோணத்தின் குறுகிய பக்கங்களை அழைக்கவும் (எந்த பக்கமானது 'a' அல்லது 'b' என்பது முக்கியமல்ல), மற்றும் c என்ற ஹைப்போடென்யூஸை அழைக்கவும்.

3. 

   
   
   நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தைத் தீர்மானிக்கவும். பித்தகோரியன் தேற்றம் கணிதவியலாளர்கள் எந்தவொரு நீளத்தையும் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ஒன்று முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கமும் நீளம் தெரிந்தவரை சரியாக இருக்கும் மற்ற இரண்டு விளிம்புகள். அறியப்படாத நீளத்தின் விளிம்பைத் தீர்மானித்தல் - a, b, மற்றும் / அல்லது c. ஒரு விளிம்பு மட்டுமே தெரியவில்லை என்றால், நீங்கள் தொடங்கலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, ஹைப்போடென்ஸின் நீளம் 5 மற்றும் அதன் பக்கங்களில் ஒன்று நீளம் 3 உள்ளது என்று எங்களுக்குத் தெரியும், ஆனால் மூன்றாம் பக்கம் என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாது. இந்த விஷயத்தில், மூன்றாம் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை நாங்கள் தீர்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளம் எங்களுக்கு முன்பே தெரியும். இந்த எடுத்துக்காட்டை அடுத்த படிகளில் பயன்படுத்துவோம்.
   • நீளம் என்றால் இரண்டு விளிம்பு தெரியவில்லை, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இன்னும் ஒரு விளிம்பின் நீளத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். முக்கோணத்தின் கூர்மையான கோணங்களில் ஒன்றை எவ்வாறு அளவிடுவது என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால் அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் உதவும்.

4. 

   
   
   அறியப்பட்ட இரண்டு மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் மாற்றவும். உங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை a + b = c என்ற சமன்பாட்டில் செருகவும். A மற்றும் b ஆகியவை சரியான கோணங்கள் மற்றும் c என்பது ஹைபோடென்யூஸ் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
   • மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஒரு பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் (இது 3 மற்றும் 5 ஆகும்), எனவே சமன்பாடு இருக்கும் 3² + b² = 5²

5. 

   ஸ்கொயர். ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு விளிம்புகளையும் வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் தொடங்கவும். மேலும், நீங்கள் அதை எளிதாகக் கண்டால், பக்கங்களின் நீளங்களை அதிவேகமாக விட்டுவிட்டு, பின்னர் அவற்றை சதுரப்படுத்தலாம்.
   • இந்த எடுத்துக்காட்டில், அதைப் பெற 3 மற்றும் 5 சதுரங்களை உருவாக்குவோம் 9 மற்றும் 25. மீண்டும் எழுதக்கூடிய சமன்பாடு 9 + b² = 25 ஆகும்.

6. 

   அறியப்படாத மாறியை சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கமாகப் பிரிக்கவும். தேவைப்பட்டால், அறியப்படாத மாறியை சமன்பாட்டிலிருந்து ஒதுக்கி வைக்க அடிப்படை இயற்கணிதத்தையும், இரண்டு சதுர எண்களையும் சமன்பாட்டிலிருந்து ஒதுக்கி வைக்கவும். நீங்கள் ஹைப்போடென்ஸைக் கண்டால், சி ஏற்கனவே ஒரு தனி பக்கத்தில் உள்ளது, எனவே அதைப் பிரிக்க நீங்கள் எதுவும் செய்யத் தேவையில்லை.
   • இந்த எடுத்துக்காட்டில், தற்போதைய சமன்பாடு 9 + b² = 25. b² ஐப் பிரிக்க, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 க்கு கழிக்கவும். இதன் விளைவாக சமன்பாடு b² = 16 ஆகும்.

7. 

   சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுர மூலத்தைப் பெறுங்கள். நீங்கள் இப்போது சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் ஒரு ஸ்கொயர் மாறி மற்றும் மறுபுறத்தில் ஒரு எண்ணைக் கொண்டிருப்பீர்கள். அறியப்படாத பக்க நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க இருபுறமும் சதுர மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.
   • இந்த எடுத்துக்காட்டில், b² = 16, இருபுறமும் சதுர மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது b = 4 ஐ அளிக்கிறது. இவ்வாறு, காணப்பட வேண்டிய பக்கத்தின் நீளம் 4.

8. 

   உண்மையான வலது முக்கோணத்தின் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்க பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும். இந்த தேற்றம் இன்று பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதற்கான காரணம், இது பல நடைமுறை சூழ்நிலைகளுக்கு பொருந்தும். வாழ்க்கையில் ஒரு சரியான முக்கோணத்தை எவ்வாறு அங்கீகரிப்பது என்பதை அறிக - இரண்டு பொருள்கள் அல்லது இரண்டு கோடுகள் ஒரு சரியான கோணத்தில் வெட்டும் மற்றும் மூன்றாவது பொருள் அல்லது கோடு அந்த வலது கோணத்தில் குறுக்கிடும் எந்த சூழ்நிலையும், நீங்கள் ஜானாவைப் பயன்படுத்தலாம். மற்ற இரண்டின் நீளத்தைக் கொடுக்கும் பக்கங்களில் ஒன்றின் நீளத்தைக் கண்டறிய பித்தகோரியன் முறை.
   • நடைமுறையில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு ஏணி கட்டிடத்தின் மீது சாய்ந்து கொண்டிருக்கிறது. படிக்கட்டு சுவரின் அடிவாரத்தில் இருந்து 5 மீ. கட்டிடத்தின் 20 மீ உயரத்திற்கு உயர்த்தி. ஏணி எவ்வளவு காலம்?
     • சுவரின் அடிவாரத்தில் இருந்து 5 மீ மற்றும் கட்டிட சுவரின் 20 மீ படிக்கட்டு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தைக் கூறுகிறது. சுவரும் தரையும் ஒரு சரியான கோணத்தில் வெட்டுவதாலும், ஏணி மூலைவிட்ட படிக்கு உயருவதாலும், பக்க நீளம் a = 5 மற்றும் b = 20 உடன் சரியான முக்கோணமாக நாம் கற்பனை செய்யலாம். ஏணி ஹைப்போடென்யூஸ், எனவே சி தெரியாது. பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • சதுர வேர் (425) = சி
       • c = 20.6. ஏணியின் தோராயமான நீளம் 20.6 மீ.
   விளம்பரம்

2 இன் முறை 2: எக்ஸ்-ஒய் விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்

1. 

   எக்ஸ்-ஒய் விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும். எக்ஸ்-ஒய் விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான நேரியல் தூரத்தை கணக்கிட பித்தகோரியன் தேற்றம் எளிதில் பயன்படுத்தப்படலாம். நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது எந்த இரண்டு புள்ளிகளின் x மற்றும் y ஆயத்தொலைவுகள் மட்டுமே. வழக்கமாக, இந்த ஆயத்தொலைவுகள் ஆயத்தொலைவுகளின் வரிசையாக (x, y) எழுதப்படுகின்றன.
   • இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தூரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, ஒவ்வொரு புள்ளியையும் சரியான முக்கோணத்தின் கூர்மையான கோணங்களில் ஒன்றாகக் கருதுவோம். இந்த வழியில், பக்க நீளம் a மற்றும் b ஐக் கண்டுபிடிப்பது எளிது, பின்னர் பக்க c அல்லது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

2. 

   வரைபடத்தில் இரண்டு புள்ளிகளை வரையவும். ஒரு சாதாரண X-Y விமானத்தில், ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் (x, y), x என்பது கிடைமட்ட அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் y என்பது செங்குத்து அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். வரைபடத்தில் சதி செய்யாமல் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை நீங்கள் காணலாம், ஆனால் வரைபடம் சிறப்பாகக் காண உதவும்.

3. 

   முக்கோணத்தின் வலது பக்கங்களின் நீளங்களைக் கண்டறியவும். ஹைப்போடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள முக்கோணத்தின் கோணங்களாக கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி, முக்கோணத்தின் a மற்றும் b பக்கங்களைக் கண்டறியவும். இதை நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தில் அல்லது | x சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம்₁ - எக்ஸ்₂| கிடைமட்ட விளிம்புகளுக்கு மற்றும் | y₁ - ஒய்₂| செங்குத்து விளிம்பிற்கு, எங்கே (x₁, y₁) முதல் புள்ளி மற்றும் (x₂, y₂) இரண்டாவது புள்ளி.
   • இரண்டு புள்ளிகள் (6,1) மற்றும் (3,5) என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள். முக்கோணத்தின் கிடைமட்ட பக்கத்தின் நீளம்:
     • | x₁ - எக்ஸ்₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • செங்குத்து விளிம்பு நீளம்:
     • | y₁ - ஒய்₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • எனவே, இந்த வலது முக்கோணத்தில், பக்க a = 3 மற்றும் பக்க b = 4 என்று சொல்லலாம்.

4. 

   ஹைப்போடென்யூஸிற்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பைத்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் என்பது நாம் தீர்மானித்தபடி இரண்டு வலது கோண பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் ஹைப்போடனஸ் ஆகும். ஹைப்போடென்ஸைக் கண்டுபிடிக்க வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் பக்கத்தின் நீளமாகவும், இரண்டாவது பக்கத்தின் நீளமாகவும் இருக்கட்டும்.
   • புள்ளிகள் (3,5) மற்றும் (6,1) கொண்ட எடுத்துக்காட்டில், சரியான கோணங்களின் நீளம் 3 மற்றும் 4 ஆகும், எனவே நாம் ஹைப்போடென்யூஸ் நீளத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடுகிறோம்:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = சதுர வேர் (9 + 16)

       c = (25) இன் சதுர வேர்

       c = 5. இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் (3,5) மற்றும் (6,1) இடையிலான தூரம் 5.

   விளம்பரம்

ஆலோசனை

• கருதுகோள் எப்போதும்:
  • வலது கோணங்களில் வெட்டுகிறது (வலது கோணங்களைக் கடக்க வேண்டாம்)
  • வலது முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கமாகும்
  • பிரதிநிதித்துவம் c பித்தகோரியன் தேற்றத்தில்
• முடிவுகளை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.
• மற்றொரு சோதனை - மிக நீளமான பக்கம் மிகப்பெரியதை எதிர்கொள்ளும் மற்றும் குறுகிய பக்கமானது சிறியதை எதிர்கொள்ளும்.
• ஒரு சரியான முக்கோணத்தில், மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் நீளம் உங்களுக்குத் தெரிந்தால் மட்டுமே மூன்றாம் பக்கத்தை நீங்கள் அறிவீர்கள்.
• முக்கோணம் சரியான முக்கோணம் இல்லையென்றால், பக்க நீளங்களுக்கு அப்பால் கூடுதல் தகவல்களை நீங்கள் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
• A, b, மற்றும் c க்கு சரியான மதிப்புகளை ஒதுக்க நீங்கள் முக்கோணத்தை ஒரு வரைபட வடிவத்தில் குறிக்க வேண்டும், குறிப்பாக தர்க்கம் அல்லது சொல் சிக்கல்களுக்கு.
• உங்களிடம் ஒரு பக்க அளவீடுகள் மட்டுமே இருந்தால், நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதற்கு பதிலாக முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை (பாவம், காஸ், பழுப்பு) அல்லது 30-60-90 / 45-45-90 விகிதத்தைப் பயன்படுத்தவும்.