உள்ளடக்கம்

• படிகள்

ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு "x" (அல்லது வேறு எந்த மாறி) மாறியின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது செயல்பாடு "கள்" மற்றும் ஒட்டுமொத்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் "x" போன்ற மதிப்பை கண்டறிவதாகும்.

• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணங்கள்:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 டிகிரி; x = 37.12 டிகிரி; x = 178.37 டிகிரி.

• குறிப்பு: முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் கோணங்களிலிருந்து, ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன மற்றும் கோணங்களில், டிகிரிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, சமமாக இருக்கும். ஒரு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு முக்கோணவியல் வட்டம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை விவரிக்கவும், அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
  • பாவம் x + பாவம் 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2 சின் 2x + cos x = 1.

1. ஒரு ஆரம் கொண்ட ஒரு முக்கோணவியல் வட்டம் (அலகு வட்டம்).
   • இது ஒரு வட்டத்திற்கு சமமான ஆரம் மற்றும் புள்ளியில் O. மைய அலகு வட்டம் "x" மாறியின் 4 அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை விவரிக்கிறது, இங்கு "x" என்பது எதிர் அச்சில் நேர்மறையான திசையில் இருந்து அளவிடப்படும் கோணமாகும்.
   • அலகு வட்டத்தில் "x" சில கோணமாக இருந்தால், பின்:
   • கிடைமட்ட அச்சு OAx F (x) = cos x செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது.
   • செங்குத்து அச்சு OBy செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது F (x) = sin x.
   • செங்குத்து அச்சு AT செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது F (x) = பழுப்பு x.
   • கிடைமட்ட அச்சு BU செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது F (x) = ctg x.

• அலகு வட்டம் அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க பயன்படுகிறது ("x" இன் வெவ்வேறு நிலைகள் அதில் கருதப்படுகின்றன).

படிகள்

1. 1 முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் கருத்து.
   • ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கு மாற்றவும். ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இறுதியில் நான்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கிறது.
2. 2 அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.
   • அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் 4 வகைகள் உள்ளன:
   • பாவம் x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது அலகு வட்டத்தின் வெவ்வேறு x நிலைகளைப் பார்ப்பது மற்றும் மாற்று அட்டவணையைப் (அல்லது கால்குலேட்டர்) பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்குகிறது.
   • உதாரணம் 1. சின் x = 0.866. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்), நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = π / 3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலை அளிக்கிறது: 2π / 3. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் அவ்வப்போது, ​​அதாவது அவற்றின் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. உதாரணமாக, பாவம் x மற்றும் cos x இன் கால அளவு 2πn, மற்றும் tg x மற்றும் ctg x இன் கால அளவு πn ஆகும். எனவே, பதில் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • உதாரணம் 2.cos x = -1/2. மாற்று அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (அல்லது கால்குலேட்டர்), நீங்கள் பதிலைப் பெறுவீர்கள்: x = 2π / 3. அலகு வட்டம் மற்றொரு பதிலை அளிக்கிறது: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • எடுத்துக்காட்டு 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • பதில்: x = π / 4 + .n.
   • எடுத்துக்காட்டு 4. ctg 2x = 1.732.
   • பதில்: x = π / 12 + .n.
3. 3 முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் மாற்றங்கள்.
   • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை மாற்ற, இயற்கணித மாற்றங்கள் (காரணிமயமாக்கல், ஒரேவிதமான சொற்களைக் குறைத்தல் போன்றவை) மற்றும் முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
   • எடுத்துக்காட்டு 5. முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, பாவம் x + sin 2x + sin 3x = 0 சமன்பாடு 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. சமன்பாடாக மாற்றப்படுகிறது பின்வரும் அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos x = 0; பாவம் (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 செயல்பாடுகளின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து கோணங்களைக் கண்டறிதல்.
   • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கற்றுக் கொள்வதற்கு முன், செயல்பாடுகளின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து கோணங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இதை ஒரு மாற்று அட்டவணை அல்லது கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி செய்யலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டு: cos x = 0.732. கால்குலேட்டர் x = 42.95 டிகிரி பதிலைக் கொடுக்கும். அலகு வட்டம் கூடுதல் கோணங்களைக் கொடுக்கும், இதன் கொசைனும் 0.732 ஆகும்.
5. 5 அலகு வட்டத்தில் தீர்வை ஒதுக்கி வைக்கவும்.
   • அலகு வட்டத்தில் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளை நீங்கள் ஒத்திவைக்கலாம். அலகு வட்டத்தின் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தின் உச்சிகளாகும்.
   • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் x = π / 3 + πn / 2 தீர்வுகள் ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள்.
   • எடுத்துக்காட்டு: அலகு வட்டத்தில் உள்ள x = π / 4 + πn / 3 தீர்வுகள் ஒரு வழக்கமான அறுகோணத்தின் உச்சியைக் குறிக்கின்றன.
6. 6 முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.
   • கொடுக்கப்பட்ட ட்ரிக் சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு ட்ரிக் செயல்பாடு இருந்தால், அந்த சமன்பாட்டை அடிப்படை ட்ரிக் சமன்பாடாக தீர்க்கவும்.கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க 2 முறைகள் உள்ளன (அதன் மாற்றத்தின் சாத்தியத்தைப் பொறுத்து).
     • முறை 1.
   • இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: f (x) * g (x) * h (x) = 0, அங்கு f (x), g (x), h (x) அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகள்.
     
     
   • எடுத்துக்காட்டு 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • தீர்வு பாவம் 2x = 2 * sin x * cos x என்ற இரட்டை கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, sin 2x ஐ மாற்றவும்.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos x = 0 மற்றும் (sin x + 1) = 0.
   • உதாரணம் 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: cos 2x (2cos x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2cos x + 1) = 0.
   • உதாரணம் 8.பாவம் x - பாவம் 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தின் சமன்பாடாக மாற்றவும்: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. இப்போது இரண்டு அடிப்படை முக்கோண சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0 மற்றும் (2sin x + 1) = 0
     • முறை 2.
   • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை ஒரே ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடு கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும். பின்னர் இந்த முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை சில அறியப்படாதவற்றுடன் மாற்றவும், எடுத்துக்காட்டாக, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, போன்றவை).
   • எடுத்துக்காட்டு 9.3 சின் ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 சின் x + 7 (0 x 2π).
   • தீர்வு இந்த சமன்பாட்டில், (cos ^ 2 x) உடன் (1 - sin ^ 2 x) (அடையாளத்தால்) மாற்றவும். மாற்றப்பட்ட சமன்பாடு:
   • 3 சின் ^ 2 x - 2 + 2 சின் ^ 2 x - 4 சின் x - 7 = 0. பாவம் x ஐ t உடன் மாற்றவும். சமன்பாடு இப்போது இதுபோல் தெரிகிறது: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. இது இரண்டு வேர்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாடு: t1 = -1 மற்றும் t2 = 9/5. இரண்டாவது ரூட் t2 செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை பூர்த்தி செய்யவில்லை (-1 பாவம் x 1). இப்போது முடிவு செய்யுங்கள்: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • எடுத்துக்காட்டு 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • தீர்வு Tg x ஐ t உடன் மாற்றவும். அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதவும்: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. இப்போது t ஐ கண்டுபிடித்து t = tg x க்கு x ஐக் கண்டறியவும்.
7. 7 சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.
   • குறிப்பிட்ட மாற்றங்கள் தேவைப்படும் பல சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் உள்ளன. உதாரணங்கள்:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (பாவம் x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கால அளவு.
   • முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் அவ்வப்போது, ​​அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்குப் பிறகு அவற்றின் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. உதாரணங்கள்:
     • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = sin x 2π ஆகும்.
     • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = டான் x to க்கு சமம்.
     • செயல்பாட்டின் காலம் f (x) = sin 2x is ஆகும்.
     • F (x) = cos (x / 2) செயல்பாட்டின் காலம் 4π ஆகும்.
   • பிரச்சனையில் காலம் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், இந்த காலத்திற்குள் "x" மதிப்பை கணக்கிடுங்கள்.
   • குறிப்பு: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிதான காரியமல்ல, பெரும்பாலும் பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே உங்கள் பதில்களை கவனமாக சரிபார்க்கவும். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு R (x) = 0. திட்டமிட நீங்கள் ஒரு கிராஃபிங் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், தீர்வுகள் தசம பின்னங்களாக வழங்கப்படும் (அதாவது π 3.14 ஆல் மாற்றப்படுகிறது).