உள்ளடக்கம்

• அடியெடுத்து வைக்க

ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது மாறி முக்கோணவியல் வளைவு x இன் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். X க்கு தீர்வு காண்பது என்பது முக்கோணவியல் வளைவுகளின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது, அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை உண்மையாகக் காட்டுகின்றன.

• தீர்வு வளைவுகளின் பதில்கள் அல்லது மதிப்புகள் டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள்:

x = பை / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 டிகிரி; x = 37.12 டிகிரி; x = 178.37 டிகிரி

• குறிப்பு: அலகு வட்டத்தில், எந்த வளைவின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் தொடர்புடைய கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு சமம். மாறி வளைவின் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் அலகு வட்டம் வரையறுக்கிறது. அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்ப்பதில் இது ஆதாரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. அலகு வட்டம்.
   • இது ஆரம் = 1 உடன் ஒரு வட்டம், அங்கு O என்பது தோற்றம். அலகு வட்டம் மாறி வளைவு x இன் 4 முக்கிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கிறது, இது எதிரெதிர் திசையில் வட்டமிடுகிறது.
   • மதிப்பு x உடன் வளைவு அலகு வட்டத்தில் மாறுபடும் போது, ​​பின்வருமாறு:
   • கிடைமட்ட அச்சு OAx முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை f (x) = cos x வரையறுக்கிறது.
   • செங்குத்து அச்சு OBy முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை f (x) = sin x என வரையறுக்கிறது.
   • செங்குத்து அச்சு AT முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை f (x) = tan x என வரையறுக்கிறது.
   • கிடைமட்ட அச்சு BU முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை f (x) = கட்டில் x வரையறுக்கிறது.

• வட்டத்தின் x வளைவின் பல்வேறு நிலைகளை கருத்தில் கொண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் நிலையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க அலகு வட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அடியெடுத்து வைக்க

1. தீர்வு முறையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.
   • ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நீங்கள் அதை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளாக மாற்றுகிறீர்கள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது இறுதியில் 4 அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும்.
2. அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரிந்து கொள்ளுங்கள்.
   • 4 அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் உள்ளன:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • முக்கோணவியல் வட்டத்தில் x வளைவின் பல்வேறு நிலைகளைப் படிப்பதன் மூலமும், முக்கோணவியல் மாற்ற அட்டவணையை (அல்லது கால்குலேட்டர்) பயன்படுத்துவதன் மூலமும் அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை நீங்கள் தீர்க்கலாம். இந்த மற்றும் ஒத்த அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் புத்தகத்தைப் படியுங்கள்: "முக்கோணவியல்: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது" (அமேசான் மின் புத்தகம் 2010).
   • எடுத்துக்காட்டு 1. பாவத்திற்கான தீர்வு x = 0.866. மாற்று அட்டவணை (அல்லது கால்குலேட்டர்) இதற்கு விடை தருகிறது: x = Pi / 3. முக்கோணவியல் வட்டம் சைனுக்கு (0.866) அதே மதிப்புடன் மற்றொரு வளைவை (2Pi / 3) தருகிறது. முக்கோணவியல் வட்டம் நீட்டிக்கப்பட்ட பதில்கள் எனப்படும் பதில்களின் முடிவிலியையும் வழங்குகிறது.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, மற்றும் x2 = 2Pi / 3. (ஒரு காலத்திற்குள் பதில்கள் (0, 2Pi))
   • x1 = பை / 3 + 2 கே பை, மற்றும் x2 = 2Pi / 3 + 2k பை. (விரிவான பதில்கள்).
   • எடுத்துக்காட்டு 2. தீர்க்க: cos x = -1/2. கால்குலேட்டர்கள் x = 2 பை / 3 கொடுக்கின்றன. முக்கோணவியல் வட்டம் x = -2Pi / 3 ஐயும் தருகிறது.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, மற்றும் x2 = - 2Pi / 3. (காலத்திற்கான பதில்கள் (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, மற்றும் x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (நீட்டிக்கப்பட்ட பதில்கள்)
   • எடுத்துக்காட்டு 3. தீர்க்க: டான் (x - பை / 4) = 0.
   • x = பை / 4; (பதில்)
   • x = பை / 4 + கே பை; (விரிவாக்கப்பட்ட பதில்)
   • எடுத்துக்காட்டு 4. தீர்க்க: கட்டில் 2 எக்ஸ் = 1.732. கால்குலேட்டர்கள் மற்றும் முக்கோணவியல் வட்டம் கொடுக்கிறது:
   • x = பை / 12; (பதில்)
   • x = பை / 12 + கே பை; (நீட்டிக்கப்பட்ட பதில்கள்)
3. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் மாற்றங்களைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
   • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை நிலையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளாக மாற்ற, நிலையான இயற்கணித மாற்றங்கள் (காரணிமயமாக்கல், பொதுவான காரணி, பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ...), முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் முக்கோணவியல் அடையாளங்களின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தவும். அவற்றில் சுமார் 31, 14 முக்கோணவியல் அடையாளங்கள், 19 முதல் 31 வரை, உருமாற்ற அடையாளங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை மாற்றுவதில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேலே உள்ள புத்தகத்தைப் பாருங்கள்.
   • எடுத்துக்காட்டு 5: முக்கோணவியல் சமன்பாடு: பாவம் x + பாவம் 2x + பாவம் 3x = 0 முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தயாரிப்பாக மாற்றலாம்: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. தீர்க்க வேண்டிய அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; மற்றும் cos (x / 2) = 0.
4. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அறியப்பட்ட வளைவுகளைக் கண்டறியவும்.
   • முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொள்வதற்கு முன், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அறியப்பட்ட வளைவுகளை எவ்வாறு விரைவாகக் கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். வளைவுகளின் (அல்லது கோணங்களின்) மாற்று மதிப்புகள் முக்கோணவியல் அட்டவணைகள் அல்லது கால்குலேட்டரைக் கொண்டு தீர்மானிக்கப்படலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டு: cos x = 0.732 க்கு தீர்க்கவும். கால்குலேட்டர் x = 42.95 டிகிரி தீர்வை அளிக்கிறது. அலகு வட்டம் கொசைனுக்கு அதே மதிப்புடன் மற்ற வளைவுகளைக் கொடுக்கும்.
5. அலகு வட்டத்தில் பதிலின் வளைவை வரையவும்.
   • அலகு வட்டத்தில் தீர்வை விளக்குவதற்கு நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம். இந்த வளைவுகளின் இறுதி புள்ளிகள் முக்கோணவியல் வட்டத்தில் வழக்கமான பலகோணங்கள். சில எடுத்துக்காட்டுகள்:
   • வளைவின் இறுதிப் புள்ளிகள் x = Pi / 3 + k. பை / 2 என்பது அலகு வட்டத்தில் உள்ள ஒரு சதுரம்.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 இன் வளைவுகள் அலகு வட்டத்தில் ஒரு அறுகோணத்தின் ஆயக்கட்டுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன.
6. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிக.
   • கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடு இருந்தால், அதை ஒரு நிலையான முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கவும். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இருந்தால், சமன்பாட்டை மாற்றுவதற்கான விருப்பங்களைப் பொறுத்து 2 தீர்வு முறைகள் உள்ளன.
     • A. முறை 1.
   • முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை வடிவத்தின் தயாரிப்புக்கு மாற்றவும்: f (x) .g (x) = 0 அல்லது f (x) .g (x) .h (x) = 0, அங்கு f (x), g (x) மற்றும் h (x) அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.
   • எடுத்துக்காட்டு 6. தீர்க்க: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • தீர்வு. அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டில் பாவம் 2x ஐ மாற்றவும்: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. பின்னர் 2 நிலையான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos x = 0, மற்றும் (sin x + 1) = 0.
   • எடுத்துக்காட்டு 7. தீர்க்க: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி இதை ஒரு தயாரிப்புக்கு மாற்றவும்: cos 2x (2cos x + 1) = 0. இப்போது 2 அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0, மற்றும் (2cos x + 1) = 0.
   • எடுத்துக்காட்டு 8. தீர்க்க: பாவம் x - பாவம் 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • தீர்வு: முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி இதை ஒரு பொருளாக மாற்றவும்: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. இப்போது 2 அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: cos 2x = 0, மற்றும் (2sin x + 1) = 0.
     • B. அணுகுமுறை 2.
   • தூண்டுதல் சமன்பாட்டை ஒரு தூண்டுதல் சமன்பாடாக மாற்றுகிறது. பொருத்தமான மாறியை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது என்பது குறித்து சில குறிப்புகள் உள்ளன. பொதுவான மாறிகள்: பாவம் x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t மற்றும் tan (x / 2) = t.
   • எடுத்துக்காட்டு 9. தீர்க்க: 3 சின் ^ 2 x - 2 கோஸ் ^ 2 x = 4 சின் x + 7 (0 x 2Pi).
   • தீர்வு. சமன்பாட்டில், (cos ^ 2x) ஐ (1 - sin ^ 2x) உடன் மாற்றி, சமன்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. இப்போது பாவம் x = t ஐப் பயன்படுத்துங்கள். சமன்பாடு ஆகிறது: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. இது 2 வேர்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாடு: t1 = -1 மற்றும் t2 = 9/5. இரண்டாவது t2 ஐ நாம் நிராகரிக்கலாம், ஏனெனில்> 1. இப்போது இதற்கு தீர்வு காணுங்கள்: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • எடுத்துக்காட்டு 10. தீர்க்க: டான் x + 2 டான் ^ 2 x = கட்டில் x + 2.
   • தீர்வு. டான் x = t ஐப் பயன்படுத்தவும். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை t உடன் ஒரு மாறியாக மாற்றவும்: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. இந்த தயாரிப்பிலிருந்து t ஐ தீர்க்கவும், பின்னர் x க்கு நிலையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x = t.
7. சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்.
   • சில குறிப்பிட்ட மாற்றங்கள் தேவைப்படும் சில சிறப்பு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள்:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (பாவம் x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
   • அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளன, அதாவது அவை ஒரு காலகட்டத்தில் சுழற்சியின் பின்னர் அதே மதிப்புக்குத் திரும்புகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள்:
     • F (x) = sin x செயல்பாடு 2Pi ஐ ஒரு காலகட்டமாகக் கொண்டுள்ளது.
     • F (x) = tan x செயல்பாடு ஒரு காலகட்டத்தில் Pi ஐக் கொண்டுள்ளது.
     • F (x) = sin 2x செயல்பாடு ஒரு காலகட்டத்தில் Pi ஐக் கொண்டுள்ளது.
     • F (x) = cos (x / 2) செயல்பாடு 4Pi ஐ காலமாகக் கொண்டுள்ளது.
   • பயிற்சிகள் / சோதனையில் காலம் குறிப்பிடப்பட்டால், இந்த காலத்திற்குள் நீங்கள் வளைவு (களை) x ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
   • குறிப்பு: முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது தந்திரமானது மற்றும் பெரும்பாலும் பிழைகள் மற்றும் தவறுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, பதில்களை கவனமாக சரிபார்க்க வேண்டும். தீர்க்கப்பட்ட பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் நேரடி பிரதிநிதித்துவத்திற்காக R (x) = 0. ஒரு வரைபட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி பதில்களை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். பதில்கள் (சதுர மூலமாக) தசம இடங்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. உதாரணமாக, பை மதிப்பு 3.14 ஆகும்