உள்ளடக்கம்

• அடியெடுத்து வைக்க
• உதவிக்குறிப்புகள்

ஒரு வரைபடமாக ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைக் காண்க கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி , இதுவும் எழுதப்பட்டுள்ளது a (x - h) + k, U- வடிவத்தில் மென்மையான வளைவு போல இருக்கும். இதை நாங்கள் அழைக்கிறோம் பரபோலா. இருபடி சமன்பாட்டை வரைபடமாக்குவது என்பது எக்ஸ்-அச்சு மற்றும் ஒய்-அச்சுடன் வெர்டெக்ஸ், திசை மற்றும் பெரும்பாலும் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்குகிறது. ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான இருபடி சமன்பாட்டின் விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இந்த புள்ளிகளைக் குறிக்க x க்கு பல மதிப்புகளை உள்ளிடுவதும் போதுமானதாக இருக்கலாம், அதன் பிறகு பரவளையத்தை வரையலாம். தொடங்குவதற்கு படி 1 க்குத் தொடரவும்.

அடியெடுத்து வைக்க

1. உங்களிடம் என்ன வகையான இரண்டாம் நிலை சமன்பாடு உள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். இதை இரண்டு வழிகளில் எழுதலாம்: நிலையான குறியீடு மற்றும் வெர்டெக்ஸ் குறியீடு (சதுர ரூட் சூத்திரத்தை எழுத மற்றொரு வழி). இருபடி சமன்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க நீங்கள் இரண்டையும் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் செயல்முறை ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் சற்று வித்தியாசமானது. பெரும்பாலான நேரங்களில் நீங்கள் நிலையான வடிவத்தை எதிர்கொள்வீர்கள், ஆனால் இரு வடிவங்களையும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்வது நிச்சயமாக பாதிக்காது. இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு வடிவங்கள்:
   • நிலையான வடிவம். இருபடி சமன்பாடு இவ்வாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: f (x) = கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி, அங்கு a, b மற்றும் c ஆகியவை உண்மையான எண்கள் மற்றும் a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது.
     • நிலையான இருபடி சமன்பாடுகளின் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்: f (x) = x + 2x + 1 மற்றும் f (x) = 9x + 10x -8.
   • வெர்டெக்ஸ் வடிவம். இருபடி சமன்பாடு பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: f (x) = a (x - h) + k, அங்கு a, h மற்றும் k ஆகியவை உண்மையான எண்கள் மற்றும் a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. இந்த வடிவம் வெர்டெக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் h மற்றும் k நேரடியாக உங்கள் பரபோலாவின் மேற்புறத்தில் (h, k) குறிக்கின்றன.
     • வெர்டெக்ஸ் வடிவம் சமன்பாடுகளின் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் f (x) = 9 (x - 4) + 18 மற்றும் -3 (x - 5) + 1
   • இந்த சமன்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்க, முதலில் வரைபடத்தின் மேல் (h, k) ஐ தீர்மானிக்கிறோம். நிலையான சமன்பாட்டில் இதை நீங்கள் காணலாம்: h = -b / 2a மற்றும் k = f (h), இது ஏற்கனவே வெர்டெக்ஸ் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் h மற்றும் k சமன்பாட்டில் நிகழ்கிறது.
2. உங்கள் மாறிகள் தீர்மானிக்க. இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பொதுவாக a, b, மற்றும் c (அல்லது a, h, மற்றும் k) மாறிகள் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். ஒரு வழக்கமான உடற்பயிற்சி நிலையான வடிவத்தில் இரண்டாவது டிகிரி சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும், ஆனால் வெர்டெக்ஸ் குறியீடும் ஏற்படக்கூடும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக: நிலையான செயல்பாடு f (x) = 2x + 16x + 39. இங்கே நமக்கு ஒரு = 2, பி = 16 மற்றும் சி = 39 உள்ளன.
   • வெர்டெக்ஸ் குறியீட்டில்: f (x) = 4 (x - 5) + 12. இங்கே நமக்கு a = 4, h = 5, மற்றும் k = 12 உள்ளன.
3. ம. வெர்டெக்ஸ் குறியீட்டில், h இன் மதிப்பு ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் நிலையான குறியீட்டில் இந்த மதிப்பு இன்னும் கணக்கிடப்படவில்லை. நிலையான சமன்பாட்டைக் கொண்டிருப்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: h = -b / 2a.
   • எடுத்துக்காட்டு 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). இதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் h = என்று காண்கிறோம் -4.
   • எடுத்துக்காட்டு 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), h = 5 என்று உடனடியாகக் காண்கிறோம்.
4. கே. H ஐப் போலவே, k ஏற்கனவே வெர்டெக்ஸ் வடிவ சமன்பாடுகளிலிருந்து அறியப்படுகிறது. நிலையான குறியீட்டில் சமன்பாடுகளுக்கு, k = f (h) என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எந்தவொரு மாறி x ஐ h இன் மதிப்புடன் மாற்றுவதன் மூலம் k ஐக் காணலாம்.
   • H = -4 என்று உதாரணம் 1 ஐக் கண்டோம். K ஐக் கண்டுபிடிக்க, சமன்பாட்டில் h இன் இந்த மதிப்பை நிரப்புவதன் மூலம் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம், மாறி x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • எந்தவொரு கணக்கீடும் தேவையில்லாமல், k இன் மதிப்பு 12 க்கு சமம் என்பதை எடுத்துக்காட்டு 2 இலிருந்து நாம் அறிவோம்.
5. வரைபடத்தின் மேல் அல்லது கீழ் வரையவும். உங்கள் பரபோலாவின் உச்சம் அல்லது பள்ளத்தாக்கு புள்ளி (h, k) - h என்பது x ஆயத்தை குறிக்கிறது மற்றும் k என்பது y ஆயத்தை குறிக்கிறது. வெர்டெக்ஸ் என்பது உங்கள் பரபோலாவின் மையமாகும் - மிக உயர்ந்த அல்லது மிகக் குறைந்த புள்ளி, வெர்டெக்ஸ் அல்லது பள்ளத்தாக்கு, ஒரு வரைபடத்தின் "யு" வடிவத்தில் அல்லது நேர்மாறாக.ஒரு பரவளையத்தின் மேற்புறத்தை தீர்மானிக்க முடிவது சரியான வரைபடத்தை வரைவதற்கு இன்றியமையாத பகுதியாகும் - பெரும்பாலும் ஒரு பரவளையத்தின் மேற்புறத்தை தீர்மானிப்பது பள்ளியில் கணித சிக்கலின் ஒரு பகுதியாகும்.
   • எடுத்துக்காட்டு 1 இல், வரைபடத்தின் மேற்பகுதி (-4.7). உங்கள் வரைபடத்தில் புள்ளியை வரைந்து, ஆயங்களை சரியாக பெயரிடுவதை உறுதிசெய்க.
   • எடுத்துக்காட்டு 2 இல், மேலே (5.12) உள்ளது. எனவே புள்ளியிலிருந்து (0,0) நீங்கள் 5 இடங்களை வலப்புறம் சென்று 12 வரை மேலே செல்கிறீர்கள்.
6. தேவைப்பட்டால், பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சை வரையவும். ஒரு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு என்பது நடுவில் உள்ள உருவத்தை வெட்டுகிறது, அதை சரியாக பாதியாக பிரிக்கிறது. வரைபடத்தின் ஒரு பக்கம் இந்த வரியுடன் வரைபடத்தின் மறுபுறத்தில் பிரதிபலிக்கிறது. கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி அல்லது ஒரு (எக்ஸ் - எச்) + கே ஆகிய இருபடி சமன்பாடுகளில், இந்த அச்சு என்பது பரவளையத்தின் உச்சியில் செல்லும் y அச்சுக்கு இணையான கோடு ஆகும்.
   • எடுத்துக்காட்டு 1 இன் விஷயத்தில், சமச்சீரின் அச்சு என்பது y அச்சுக்கு இணையான கோடு மற்றும் புள்ளி (-4,7) வழியாக செல்கிறது. இது பரவளையத்தின் ஒரு பகுதியாக இல்லாவிட்டாலும், இந்த வழிகாட்டுதலை லேசாக முன்னிலைப்படுத்துவது பரவளைய வளைவு எவ்வளவு சமச்சீர் என்பதை உங்களுக்குக் காண்பிக்கும்.
7. பரவளையத்தின் திசையை தீர்மானிக்கவும். பரபோலாவின் மேற்பகுதி என்ன என்பதை நீங்கள் கண்டறிந்த பிறகு, நீங்கள் ஒரு மலை அல்லது பள்ளத்தாக்கு பரபோலாவை கையாளுகிறீர்களா என்பதை அறிந்து கொள்வது அவசியம், அதாவது திறப்பு கீழே அல்லது மேலே உள்ளதா என்பதை அறிய வேண்டும். அதிர்ஷ்டவசமாக, இது மிகவும் எளிதானது. "அ" நேர்மறையாக இருந்தால், நீங்கள் ஒரு பள்ளத்தாக்கு பரபோலாவை கையாள்கிறீர்கள்; "a" எதிர்மறையாக இருந்தால் அது ஒரு மலை பரபோலா (கீழே திறப்புடன்)
   • எடுத்துக்காட்டு 1 இல் நாம் (f (x) = 2x + 16x + 39) செயல்பாட்டைக் கையாளுகிறோம், எனவே இது ஒரு பள்ளத்தாக்கு பரவளையமாகும், ஏனெனில் a = 2 (நேர்மறை).
   • எடுத்துக்காட்டு 2 இல் நாம் f (x) = 4 (x - 5) + 12) செயல்பாட்டைக் கையாளுகிறோம், இது ஒரு பள்ளத்தாக்கு பரவளையமாகும், ஏனெனில் a = 4 (நேர்மறை).
8. தேவைப்பட்டால் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை தீர்மானிக்கவும். பெரும்பாலும் ஒரு கணித சிக்கல் x- அச்சுடன் பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டுகளைக் கொடுக்கும்படி கேட்கப்படும் போது (இவை "பூஜ்ஜியம்", a அல்லது இரண்டு பரபோலா x அச்சில் குறுக்கிடும் அல்லது தாக்கும் புள்ளிகள்). கோரப்படாவிட்டாலும், துல்லியமான வரைபடத்தை வரைய இந்த புள்ளிகள் மிகவும் முக்கியம். ஆனால் எல்லா பரவளையங்களும் x- அச்சுடன் ஒரு குறுக்குவெட்டு இல்லை. நீங்கள் ஒரு பள்ளத்தாக்கு பரவளையத்துடன் கையாளுகிறீர்கள் மற்றும் பள்ளத்தாக்கு புள்ளி x- அச்சுக்கு மேலே இருந்தால் அல்லது, ஒரு மலை பரபோலா விஷயத்தில், x- அச்சுக்கு சற்று கீழே இருந்தால், வெட்டும் புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை. அப்படியானால், பின்வரும் முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தவும்:
   • அந்த f (x) = 0 ஐ தீர்மானித்து சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். இந்த முறை எளிய இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு, குறிப்பாக வெர்டெக்ஸ் வடிவத்தில் வேலைசெய்யக்கூடும், ஆனால் செயல்பாடுகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருப்பதால் இது பெருகிய முறையில் கடினமாகி வருவதை நீங்கள் காண்பீர்கள். கீழே சில எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 மற்றும் 13 பரவளையத்தின் x- அச்சுடன் கூடிய குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள்.
   • சமன்பாட்டின் காரணி. கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி வடிவத்தில் உள்ள சில சமன்பாடுகளை (டிஎக்ஸ் + இ) (எஃப்எக்ஸ் + கிராம்) என எளிதாக எழுதலாம், இங்கு டிஎக்ஸ் × எஃப்எக்ஸ் = கோடாரி, (டிஎக்ஸ் × ஜி + எஃப்எக்ஸ் × இ) = பிஎக்ஸ் மற்றும் ஈ × g = c. இந்த வழக்கில், x குறுக்குவெட்டுகள் x இன் மதிப்புகள் ஆகும், அங்கு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லும் 0 க்கு சமமாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • இந்த வழக்கில், குறுக்குவெட்டு புள்ளி -1 ஏனெனில், இரண்டு காரணிகளிலும் நுழைந்தால், இது பூஜ்ஜியத்தை அளிக்கிறது.
   • ஏபிசி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும். குறுக்குவெட்டுகளைக் கண்டறிவது அல்லது சமன்பாட்டை காரணமாக்குவது எளிதல்ல என்றால், இந்த நோக்கத்திற்காக குறிப்பாக "ஏபிசி சூத்திரத்தை" பயன்படுத்தவும். கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி வடிவத்தில் ஒரு சமன்பாட்டைக் கொள்ளுங்கள். X, (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a சூத்திரத்தில் a, b மற்றும் c இன் மதிப்புகளை உள்ளிடவும். இது பெரும்பாலும் x க்கு இரண்டு பதில்களை உங்களுக்குத் தருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, இது நல்லது - அதாவது உங்கள் பரவளையம் x அச்சுடன் இரண்டு குறுக்குவெட்டுகளைக் கொண்டுள்ளது. இங்கே ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
     • பின்வரும் வழியில் சமன்பாட்டில் -5x + 1x + 10 ஐ உள்ளிடவும்:
     • x = (-1 +/- சதுரடி (1 - 4 (-5) (10)) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- சதுரடி (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- சதுரடி (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) மற்றும் (-15.18 / -10). X அச்சுடன் பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் தோராயமாக x = ஆகும் -1,318 மற்றும் 1,518
     • எடுத்துக்காட்டு 1 இல் 2x + 16x + 39 என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்டு, இது இப்படி இருக்கும்:
     • x = (-16 +/- சதுரடி (16 - 4 (2) (39)) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- சதுரடி (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- சதுரடி (-56) / - 10
     • எதிர்மறை எண்ணின் சதுர மூலத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது என்பதால், இந்த குறிப்பிட்ட பரவளையத்திற்கான x அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை என்பதை நாங்கள் அறிவோம்.
9. தேவைப்பட்டால், ஒய்-அச்சுடன் பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டு தீர்மானிக்கவும். இது பெரும்பாலும் தேவையில்லை, ஆனால் சில நேரங்களில் இந்த குறுக்குவெட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக கணித சிக்கலுக்கு. இது மிகவும் எளிதானது - x இன் மதிப்பை 0 ஆக அமைத்து, f (x) அல்லது y க்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும், இது பரவளையம் y அச்சுடன் குறுக்கிடும் புள்ளியின் y மதிப்பை உங்களுக்கு வழங்குகிறது. X- அச்சு வழியாக வெட்டும் புள்ளிகளுடனான வேறுபாடு என்னவென்றால், y- அச்சில் எப்போதும் ஒரே ஒரு குறுக்குவெட்டு புள்ளி மட்டுமே இருக்கும். குறிப்பு - நிலையான சமன்பாடுகளுடன், y- அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு y = c இல் உள்ளது.
   • எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் இருபடி சமன்பாடு 2x + 16x + 39 ஒரு குறுக்குவெட்டு y = 39 ஐக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், ஆனால் இதை பின்வருமாறு காணலாம்:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. ஒய்-அச்சுடன் பரபோலாவின் குறுக்குவெட்டு: y = 39. மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, குறுக்குவெட்டு புள்ளியை நாம் எளிதாக படிக்க முடியும், ஏனெனில் y = c.
   • 4 (x - 5) + 12 சமன்பாடு y- அச்சுடன் ஒரு குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது, அதை பின்வருமாறு காணலாம்:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. y- அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு: y = 112.
10. இது அவசியம் என்று நீங்கள் நினைத்தால், முதலில் கூடுதல் புள்ளிகளையும் பின்னர் முழு வரைபடத்தையும் வரையவும். நீங்கள் இப்போது ஒரு மேல் அல்லது பள்ளத்தாக்கு, ஒரு திசை, எக்ஸ்-அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் உங்கள் சமன்பாட்டின் y- அச்சுடன் இருக்க வேண்டும். இந்த புள்ளியில் இருந்து இந்த புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி பரவளையத்தை வரைய முயற்சி செய்யலாம் அல்லது வரைபடத்தை மிகவும் துல்லியமாக மாற்ற அதிக புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம். இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழி, பல x மதிப்புகளை உள்ளிடுவதே ஆகும், இது பல y மதிப்புகளைத் தரும். பரவளையத்தை வரையத் தொடங்குவதற்கு முன்பு பல புள்ளிகளைக் கணக்கிட நீங்கள் அடிக்கடி (ஆசிரியரால்) கேட்கப்படுவீர்கள்.
    • X + 2x + 1 என்ற சமன்பாட்டைப் பற்றி இன்னொரு முறை பார்ப்போம். X அச்சுடன் ஒரே குறுக்குவெட்டு (-1,0) என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். இந்த கட்டத்தில் இது x அச்சை மட்டுமே தொடுவதால், வரைபடத்தின் மேற்பகுதி இந்த புள்ளிக்கு சமம் என்று நாம் தீர்மானிக்க முடியும். இதுவரை இந்த பரவளையத்தின் ஒரு புள்ளி மட்டுமே எங்களிடம் உள்ளது - ஒரு வரைபடத்தை வரைய கிட்டத்தட்ட போதாது. எங்களிடம் அதிக மதிப்புகள் இருப்பதை உறுதிப்படுத்த இன்னும் சில புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
      • பின்வரும் x மதிப்புகளுக்கு ஒத்த y மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்: 0, 1, -2 மற்றும் -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. பின்னர் புள்ளி (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. பின்னர் புள்ளி (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. பின்னர் புள்ளி (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. பின்னர் புள்ளி (-3,4).
      • இந்த புள்ளிகளை வரைபடத்தில் வைத்து உங்கள் பரவளையத்தை வரையவும். பரவளையம் முற்றிலும் சமச்சீர் என்பதை நினைவில் கொள்க - வரைபடத்தின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள புள்ளிகள் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், சமச்சீர் அச்சின் மறுபக்கத்தில் உள்ள புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க இந்த புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நீங்கள் நிறைய வேலைகளைச் சேமிக்கலாம்.

உதவிக்குறிப்புகள்

• தேவைப்பட்டால், சுற்று எண்கள் அல்லது பின்னங்களைப் பயன்படுத்துங்கள். இது ஒரு விளக்கப்படத்தை சரியாகக் காட்ட உதவும்.
• F (x) = ax + bx + c, b அல்லது c செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அந்த சொற்கள் மறைந்துவிடும் என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, 12x + 0x + 6 12x + 6 க்கு சமமாகிறது, ஏனெனில் 0x 0 க்கு சமம்.