உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• ஆலோசனை

நீங்கள் ஒரு கணிதவியலாளர் அல்லது கிராஃபிக் புரோகிராமர் என்றால், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும். இந்த கட்டுரையில், அதை எப்படி செய்வது என்று விக்கிஹோ உங்களுக்குக் காட்டுகிறது.

படிகள்

2 இன் பகுதி 1: இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்

1. 

   திசையன் வரையறை. உங்களிடம் உள்ள இரண்டு திசையன்கள் பற்றிய அனைத்து தகவல்களையும் எழுதுங்கள். அவற்றின் பரிமாண ஆயங்களின் குறிப்பிட்ட அளவுருக்கள் மட்டுமே உங்களிடம் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் (கூறுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன). ஒரு திசையனின் நீளம் (அளவு) உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்திருந்தால், கீழே உள்ள சில படிகளை நீங்கள் தவிர்க்கலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டு: இரு பரிமாண திசையன் = (2,2) மற்றும் இரு பரிமாண திசையன் = (0,3). அவற்றை = 2 என்றும் எழுதலாம்நான் + 2j மற்றும் = 0நான் + 3j = 3j.
   • இந்த கட்டுரையில் எடுத்துக்காட்டில் இரு பரிமாண திசையன்கள் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், பின்வரும் வழிமுறைகள் எத்தனை பரிமாணங்களைக் கொண்ட திசையன்களுக்கும் பொருந்தும்.

2. 

   
   
   கொசைன் சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையில் கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, அந்த கோணத்திற்கான கொசைனைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்துடன் தொடங்குவோம். இந்த சூத்திரத்தைப் பற்றி நீங்கள் கீழே அறியலாம் அல்லது இதை இப்படி எழுதுங்கள்:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| "திசையனின் நீளம்" என்று பொருள்.
   • Ve என்பது இரண்டு திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு - இது கீழே விளக்கப்படும்.

3. 

   
   
   ஒவ்வொரு திசையனின் நீளத்தையும் கணக்கிடுங்கள். ஒரு சரியான முக்கோணம் திசையனின் x, y கூறுகள் மற்றும் திசையன் ஆகியவற்றால் ஆனது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். திசையன் முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸை உருவாக்குகிறது, எனவே அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க நாம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். உண்மையில், இந்த சூத்திரத்தை எந்தவொரு பரிமாணங்களின் திசையனுக்கும் எளிதாக நீட்டிக்க முடியும்.
   • || u || = யு₁ + u₂. ஒரு திசையன் இரண்டு உறுப்புகளுக்கு மேல் இருந்தால், தொடர்ந்து + u ஐச் சேர்க்கவும்₃ + u₄ +...
   • எனவே, இரு பரிமாண திசையனுக்கு, || u || = √ (யு₁ + u₂).
   • இந்த எடுத்துக்காட்டில், |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   இரண்டு திசையன்களின் அளவிடுதல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள். திசையன் பெருக்கத்தின் முறையை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டிருக்கலாம், இது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது அளவிடுதல் இது. அவற்றின் கலவையுடன் தொடர்புடைய அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கணக்கிட, ஒவ்வொரு திசையிலும் உள்ள பொருட்களை ஒன்றாகப் பெருக்கி, பின்னர் முழு முடிவையும் சேர்க்கவும்.
   • கிராபிக்ஸ் நிரலுக்கு, மேலும் படிக்க முன் உதவிக்குறிப்புகளைப் பார்க்கவும்.
   • கணிதத்தில் • = u₁v₁ + u₂v₂, எங்கே, u = (u₁, யு₂). திசையன் இரண்டு உறுப்புகளுக்கு மேல் இருந்தால், வெறுமனே + u ஐச் சேர்க்கவும்₃v₃ + u₄v₄...
   • இந்த எடுத்துக்காட்டில், • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. இது திசையன் மற்றும் திசையனின் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு ஆகும்.

5. 

   பெறப்பட்ட முடிவுகளை சூத்திரத்தில் வைக்கவும். Cosθ = (•) / (|||| || ||) என்பதை நினைவில் கொள்க. இப்போது நாம் ஒவ்வொரு திசையனின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு மற்றும் நீளம் இரண்டையும் அறிவோம். கோணத்தின் கொசைனைக் கணக்கிட சூத்திரத்தில் இவற்றை உள்ளிடவும்.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   அதன் கொசைனின் அடிப்படையில் கோணத்தைக் கண்டறியவும். அறியப்பட்ட காஸ் மதிப்பிலிருந்து find ஐக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரில் ஆர்கோஸ் அல்லது காஸ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். சில முடிவுகளுடன், அலகு வட்டத்தின் அடிப்படையில் கோணத்தைக் காணலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டில், cosθ = √2 / 2. கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க உங்கள் கால்குலேட்டரில் "ஆர்கோஸ் (√2 / 2)" ஐ உள்ளிடவும். அல்லது, கோஸ் θ அலகு வட்டத்தில், cosθ = √2 / 2 என்ற நிலையில் காணலாம். இது உண்மை θ = /₄ அல்லது 45º.
   • எல்லாவற்றையும் இணைத்து, இறுதி சூத்திரம்: கோணம் θ = ஆர்கோசின் ((•) / (|||| || ||))
   விளம்பரம்

பகுதி 2 இன் 2: கோண சூத்திரத்தை தீர்மானித்தல்

1. 

   சூத்திரத்தின் நோக்கத்தைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். இந்த சூத்திரம் ஏற்கனவே உள்ள விதிகளிலிருந்து பெறப்படவில்லை. அதற்கு பதிலாக, இது அளவிடுதல் தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் வரையறையாக உருவாகிறது. அப்படியிருந்தும், அது தன்னிச்சையான முடிவு அல்ல. அடிப்படை வடிவவியலுக்குச் செல்லும்போது, ​​இந்த சூத்திரம் ஏன் உள்ளுணர்வு மற்றும் பயனுள்ள வரையறைகளை வழங்குகிறது என்பதை நாம் புரிந்து கொள்ளலாம்.
   • கீழேயுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இரு பரிமாண திசையன்களைப் பயன்படுத்துகின்றன, ஏனெனில் அவை புரிந்துகொள்ள எளிதானவை மற்றும் எளிமையானவை. முப்பரிமாண அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திசையன்கள் கிட்டத்தட்ட ஒத்த பொது சூத்திரங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

2. 

   கொசைனின் தேற்றத்தை மதிப்பாய்வு செய்யவும். A மற்றும் b பக்கங்களுக்கு இடையில் கோணத்துடன் கூடிய சாதாரண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், எதிர் பக்கம் c. C = a + b -2ab என்று கொசைன் தேற்றம் கூறுகிறதுcos(). இந்த முடிவு அடிப்படை வடிவவியலில் இருந்து மிகவும் எளிமையாக வரையப்பட்டுள்ளது.

3. 

   இரண்டு திசையன்களை இணைக்கவும், ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது. காகிதம், திசையன்கள் மற்றும் திசையன்களில் ஒரு ஜோடி இரு பரிமாண திசையன்களை வரையவும், அவற்றுக்கு இடையேயான கோணம். ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்க இந்த இரண்டிற்கும் இடையே மூன்றாவது திசையன் வரையவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், + = போன்ற ஒரு திசையனை வரையவும். திசையன் = -.

4. 

   இந்த முக்கோணத்திற்கான கொசைன் தேற்றத்தை எழுதுங்கள். எங்கள் "திசையன் முக்கோணத்தின்" பக்க நீளத்தை கொசைன் தேற்றத்தில் மாற்றவும்:
   • || (அ - ஆ) || = || அ || + || ப || - 2 || அ || || ப ||cos(θ)

5. 

   அளவிடல் தயாரிப்புடன் மீண்டும் எழுதவும். நினைவில் வைத்து கொள்ளுங்கள், ஒரு அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது ஒரு திசையனின் மறுபுறம். ஒரு திசையனின் அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கு எந்த திட்டமும் தேவையில்லை, ஏனென்றால் இங்கே, திசையில் எந்த வித்தியாசமும் இல்லை. அதாவது • = || அ || இதைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || அ || || ப ||cos(θ)

6. 

   அதே சூத்திரத்தை வெற்றிகரமாக மீண்டும் எழுதினார். சூத்திரத்தின் இடது பக்கத்தை விரிவாக்குங்கள், பின்னர் கோணங்களைக் கண்டுபிடிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரத்தைப் பெற எளிமைப்படுத்தவும்.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || அ || || ப ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || அ || || ப ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || அ || || ப ||cos(θ)
   • • = || அ || || ப ||cos(θ)
   விளம்பரம்

ஆலோசனை

• மதிப்புகளை மாற்ற மற்றும் சிக்கலை விரைவாக தீர்க்க, எந்த ஜோடி இரு பரிமாண திசையன்களுக்கும் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (யு₁ • u₂) • √ (வி₁ • v₂)).
• நீங்கள் கணினி கிராபிக்ஸ் மென்பொருளுடன் பணிபுரிகிறீர்கள் என்றால், திசையன்களின் பரிமாணத்தைப் பற்றி நீங்கள் கவலைப்படாமல் அவற்றின் நீளத்தைப் பற்றி மட்டுமே கவலைப்பட வேண்டிய வாய்ப்புகள் உள்ளன. ஒரு சமன்பாட்டைக் குறைக்க மற்றும் உங்கள் நிரலை விரைவுபடுத்த பின்வரும் படிகளைப் பயன்படுத்தவும்:
  • ஒவ்வொரு திசையனையும் இயல்பாக்குங்கள், அவை 1 க்கு சமமாக இருக்கும். இதைச் செய்ய, திசையனின் ஒவ்வொரு கூறுகளையும் அதன் நீளத்தால் வகுக்கவும்.
  • அசல் திசையனுக்கு பதிலாக அளவிடலின் இயல்பாக்கப்பட்ட தயாரிப்பைப் பெறுங்கள்.
  • நீளம் 1 என்பதால், நீள உறுப்புகளை சமன்பாட்டிலிருந்து விலக்கலாம். இறுதியாக, பெறப்பட்ட கோண சமன்பாடு ஆர்கோஸ் (•) ஆகும்.
• கொசைன் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், கோணம் கடுமையானதா அல்லது முழுமையானதா என்பதை விரைவாக தீர்மானிக்க முடியும். Cosθ = (•) / (|||| ||||) உடன் தொடங்குங்கள்:
  • சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் ஒரே அடையாளம் இருக்க வேண்டும் (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை).
  • நீளம் எப்போதும் நேர்மறையானதாக இருப்பதால், கோஸ் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்புக்கு ஒத்த அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
  • எனவே, தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருந்தால், கோஸும் நேர்மறையானது. வட்ட அலகு வட்டத்தின் முதல் அளவுகளில், are <π / 2 அல்லது 90º உடன் இருக்கிறோம். கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கோணம் கூர்மையான கோணம்.
  • அளவிடுதல் தயாரிப்பு எதிர்மறையாக இருந்தால், cosθ எதிர்மறையானது. வட்ட அலகு வட்டத்தின் இரண்டாவது அளவுகளில், are / 2 <θ π அல்லது 90 unit <circle ad 180º உடன் இருக்கிறோம். அதுதான் சிறை மூலையில்.