உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• முறை 1 இன் 3: ஒரு நிலையான சமன்பாடு இல்லாமல் ஒரு கன சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது
• முறை 2 இல் 3: மல்டிப்ளையர்களைப் பயன்படுத்தி முழு வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது
• முறை 3 இன் 3: பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

ஒரு கன சமன்பாட்டில், மிக உயர்ந்த அடுக்கு 3 ஆகும், அத்தகைய சமன்பாடு 3 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (தீர்வுகள்) மற்றும் அது வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது ${ displaystyle axx ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... சில க்யூபிக் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது அவ்வளவு எளிதல்ல, ஆனால் நீங்கள் சரியான முறையைப் பயன்படுத்தினால் (நல்ல தத்துவார்த்த பின்னணியுடன்), நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான கன சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காணலாம் - இதற்காக இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் முழு வேர்கள், அல்லது பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்.

படிகள்

முறை 1 இன் 3: ஒரு நிலையான சமன்பாடு இல்லாமல் ஒரு கன சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

1. 1 க்யூபிக் சமன்பாட்டில் இலவச சொல் இருக்கிறதா என்று கண்டுபிடிக்கவும் ஈ{ காட்சி உடை d}. கன சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது ${ displaystyle axx ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... ஒரு சமன்பாட்டை க்யூபிக் என்று கருதுவதற்கு, இந்த சொல் மட்டும் போதுமானது ${ காட்சி உடை x ^ {3}}$ (அதாவது, மற்ற உறுப்பினர்கள் இல்லாமல் இருக்கலாம்).
   • சமன்பாடு ஒரு இலவச காலத்தைக் கொண்டிருந்தால் ${ காட்சி உடை d}$, வேறு முறையைப் பயன்படுத்தவும்.
   • சமன்பாட்டில் இருந்தால் ${ displaystyle a = 0}$, இது கனமாக இல்லை.
2. 2 அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கவும் எக்ஸ்{ காட்சி உடை x}. சமன்பாட்டில் இலவச சொல் இல்லாததால், சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு காலமும் மாறியை உள்ளடக்கியது ${ காட்சி உடை x}$... இதன் பொருள் ஒன்று ${ காட்சி உடை x}$ சமன்பாட்டை எளிமைப்படுத்த அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து விலக்கப்படலாம். எனவே, சமன்பாடு இப்படி எழுதப்படும்: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • உதாரணமாக, ஒரு கன சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • வெளியே எடு ${ காட்சி உடை x}$ அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் கிடைக்கும் ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 காரணி (இரண்டு பைனொமியல்களின் தயாரிப்பு) இருபடி சமன்பாடு (முடிந்தால்). படிவத்தின் பல இருபடி சமன்பாடுகள் ${ displaystyle axx ^ {2} + bx + c = 0}$ காரணியாக இருக்க முடியும். நாம் வெளியே எடுத்தால் அத்தகைய சமன்பாடு மாறும் ${ காட்சி உடை x}$ அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்:
   • அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கவும் ${ காட்சி உடை x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • இருபடி சமன்பாட்டின் காரணி: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • ஒவ்வொரு தொட்டியையும் சமன் செய்யவும் ${ displaystyle 0}$... இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 ஒரு சிறப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். இருபடி சமன்பாட்டை காரணிப்படுத்த முடியாவிட்டால் இதைச் செய்யுங்கள். ஒரு சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க, குணகங்களின் மதிப்புகள் ${ காட்சி உடை a}$, ${ காட்சி உடை b}$, ${ காட்சி உடை c}$ சூத்திரத்தில் மாற்று ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், குணகங்களின் மதிப்புகளை மாற்றவும் ${ காட்சி உடை a}$, ${ காட்சி உடை b}$, ${ காட்சி உடை c}$ (${ காட்சி உடை 3}$, ${ காட்சி உடை -2}$, ${ காட்சி உடை 14}$) சூத்திரத்தில்:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • முதல் வேர்:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • இரண்டாவது வேர்:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 க்யூபிக் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக பூஜ்ஜியம் மற்றும் இருபடி வேர்களைப் பயன்படுத்தவும். இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அதே சமயம் கனமானவை மூன்று. நீங்கள் ஏற்கனவே இரண்டு தீர்வுகளைக் கண்டறிந்துள்ளீர்கள் - இவை இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள். அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே "x" ஐ வைத்தால், மூன்றாவது தீர்வு இருக்கும் ${ displaystyle 0}$.
   • அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து "x" ஐ எடுத்தால், நீங்கள் பெறுவீர்கள் ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$அதாவது, இரண்டு காரணிகள்: ${ காட்சி உடை x}$ மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் இருபடி சமன்பாடு. இந்த காரணிகள் ஏதேனும் இருந்தால் ${ displaystyle 0}$, முழு சமன்பாடும் சமம் ${ displaystyle 0}$.
   • இவ்வாறு, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் ஒரு கன சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஆகும். மூன்றாவது தீர்வு ${ displaystyle x = 0}$.

முறை 2 இல் 3: மல்டிப்ளையர்களைப் பயன்படுத்தி முழு வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

1. 1 க்யூபிக் சமன்பாட்டில் ஒரு இலவச சொல் இருப்பதை உறுதிப்படுத்தவும் ஈ{ காட்சி உடை d}. படிவத்தின் சமன்பாட்டில் இருந்தால் ${ displaystyle axx ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ஒரு இலவச உறுப்பினர் இருக்கிறார் ${ காட்சி உடை d}$ (இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை), அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே "x" வை வைக்க இது வேலை செய்யாது. இந்த வழக்கில், இந்த பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள முறையைப் பயன்படுத்தவும்.
   • உதாரணமாக, ஒரு கன சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, சேர்க்கவும் ${ காட்சி உடை 6}$ சமன்பாட்டின் இருபுறமும்.
   • சமன்பாடு மாறிவிடும் ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... என ${ displaystyle d = 6}$, முதல் பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறையைப் பயன்படுத்த முடியாது.
2. 2 குணகத்தின் காரணிகளை எழுதுங்கள் ஒரு{ காட்சி உடை a} மற்றும் ஒரு இலவச உறுப்பினர் ஈ{ காட்சி உடை d}. அதாவது, எண்ணின் காரணிகளைக் கண்டறியவும் ${ காட்சி உடை x ^ {3}}$ மற்றும் சம அடையாளத்திற்கு முன் எண்கள். ஒரு எண்ணின் காரணிகள் பெருக்கும்போது அந்த எண்ணை உருவாக்கும் எண்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
   • உதாரணமாக, எண்ணைப் பெற 6, நீங்கள் பெருக்க வேண்டும் ${ காட்சி முறை 6 முறை 1}$ மற்றும் ${ காட்சி நடை 2 முறை 3}$... எனவே எண்கள் 1, 2, 3, 6 எண்ணிக்கையின் காரணிகள் 6.
   • எங்கள் சமன்பாட்டில் ${ displaystyle a = 2}$ மற்றும் ${ displaystyle d = 6}$... பெருக்கிகள் 2 உள்ளன 1 மற்றும் 2... பெருக்கிகள் 6 எண்கள் ஆகும் 1, 2, 3 மற்றும் 6.
3. 3 ஒவ்வொரு காரணியையும் பிரிக்கவும் ஒரு{ காட்சி உடை a} ஒவ்வொரு காரணிக்கும் ஈ{ காட்சி உடை d}. இதன் விளைவாக, நீங்கள் நிறைய பின்னங்களையும் பல முழு எண்களையும் பெறுவீர்கள்; க்யூபிக் சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களில் ஒன்று அல்லது முழு எண்களில் ஒன்றின் எதிர்மறை மதிப்பாக இருக்கும்.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், காரணிகளைப் பிரிக்கவும் ${ காட்சி உடை a}$ (1 மற்றும் 2) காரணிகளால் ${ காட்சி உடை d}$ (1, 2, 3 மற்றும் 6) நீங்கள் பெறுவீர்கள்: ${ காட்சி உடை 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ காட்சி நடை 2}$ மற்றும் ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... இப்போது பெறப்பட்ட பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் எதிர்மறை மதிப்புகளை இந்த பட்டியலில் சேர்க்கவும்: ${ காட்சி உடை 1}$, ${ காட்சி உடை -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ காட்சி நடை 2}$, ${ காட்சி உடை -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ மற்றும் ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... கன சமன்பாட்டின் முழு வேர்களும் இந்தப் பட்டியலில் இருந்து சில எண்கள்.
4. 4 க்யூபிக் சமன்பாட்டில் முழு எண்களை செருகவும். சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால், மாற்று எண் சமன்பாட்டின் மூலமாகும். உதாரணமாக, சமன்பாட்டில் மாற்று ${ காட்சி உடை 1}$:
   • ${ காட்சி வடிவம் 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ காட்சி பாணி 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, அதாவது, சமத்துவம் கடைபிடிக்கப்படவில்லை. இந்த வழக்கில், அடுத்த எண்ணை இணைக்கவும்.
   • மாற்று ${ காட்சி உடை -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. இவ்வாறு, ${ காட்சி உடை -1}$ சமன்பாட்டின் முழு வேர் ஆகும்.
5. 5 பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகுக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தவும் ஹார்னரின் திட்டம்சமன்பாட்டின் வேர்களை வேகமாக கண்டுபிடிக்க. சமன்பாட்டில் எண்களை கைமுறையாக மாற்ற விரும்பவில்லை என்றால் இதைச் செய்யுங்கள். ஹார்னரின் திட்டத்தில், முழு எண்கள் சமன்பாட்டின் குணகங்களின் மதிப்புகளால் பிரிக்கப்படுகின்றன ${ காட்சி உடை a}$, ${ காட்சி உடை b}$, ${ காட்சி உடை c}$ மற்றும் ${ காட்சி உடை d}$... எண்கள் சமமாக வகுக்கப்பட்டால் (அதாவது, மீதமுள்ளவை ${ displaystyle 0}$), ஒரு முழு எண் சமன்பாட்டின் வேர்.
   • ஹார்னரின் திட்டம் ஒரு தனி கட்டுரைக்கு தகுதியானது, ஆனால் இந்த திட்டத்தை பயன்படுத்தி நமது கன சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • எனவே மீதி உள்ளது ${ displaystyle 0}$, ஆனாலும் ${ காட்சி உடை -1}$ சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்று.

முறை 3 இன் 3: பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

1. 1 சமன்பாட்டின் குணகங்களின் மதிப்புகளை எழுதுங்கள் ஒரு{ காட்சி உடை a}, b{ காட்சி உடை b}, c{ காட்சி உடை c} மற்றும் ஈ{ காட்சி உடை d}. எதிர்காலத்தில் குழப்பமடையாதபடி சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குணகங்களின் மதிப்புகளை முன்கூட்டியே எழுத பரிந்துரைக்கிறோம்.
   • உதாரணமாக, சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... எழுது ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ காட்சி உடை c = 3}$ மற்றும் ${ displaystyle d = -1}$... முன்பு இருந்தால் அதை நினைவுபடுத்தவும் ${ காட்சி உடை x}$ எண் இல்லை, தொடர்புடைய குணகம் இன்னும் உள்ளது மற்றும் அதற்கு சமம் ${ காட்சி உடை 1}$.
2. 2 ஒரு சிறப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜிய பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள். பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு கன சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் பல கடினமான கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும், ஆனால் நீங்கள் அனைத்து படிகளையும் சரியாகச் செய்தால், மிகவும் சிக்கலான கன சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த முறை இன்றியமையாததாகிவிடும். முதல் கணக்கீடு ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (பூஜ்ஜிய பாகுபாடு) நமக்குத் தேவையான முதல் மதிப்பு; இதைச் செய்ய, சூத்திரத்தில் தொடர்புடைய மதிப்புகளை மாற்றவும் ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • பாகுபாடு என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோலின் வேர்களை வகைப்படுத்தும் ஒரு எண் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • எங்கள் சமன்பாட்டில்:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ காட்சி நடை 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள் Δ1=2b3−9ஒருbc+27ஒரு2ஈ{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. முதல் பாகுபாடு ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - இது இரண்டாவது முக்கியமான மதிப்பு; அதைக் கணக்கிட, தொடர்புடைய மதிப்புகளை குறிப்பிட்ட சூத்திரத்தில் செருகவும்.
   • எங்கள் சமன்பாட்டில்:

     ${காட்சி காட்சி 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 கணக்கிடு:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... அதாவது, பெறப்பட்ட மதிப்புகள் மூலம் க்யூபிக் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறியவும் ${ displaystyle Delta _ {0}}$ மற்றும் ${ displaystyle Delta _ {1}}$... ஒரு கன சமன்பாட்டின் பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது; பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாடு ஒன்று அல்லது இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது; பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது.
   • இந்த சமன்பாட்டின் வரைபடம் குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியில் எக்ஸ்-அச்சில் குறுக்கிடும் என்பதால், ஒரு க்யூபிக் சமன்பாட்டிற்கு எப்போதும் குறைந்தது ஒரு ரூட் இருக்கும்.
   • எங்கள் சமன்பாட்டில் ${ displaystyle Delta _ {0}}$ மற்றும் ${ displaystyle Delta _ {1}}$ சமமாக உள்ளன ${ displaystyle 0}$, எனவே நீங்கள் எளிதாக கணக்கிடலாம் ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... இவ்வாறு, நமது சமன்பாடு ஒன்று அல்லது இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

5. 5 கணக்கிடு:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } வலது) div 2}}}$. ${ காட்சி உடை C}$ - இது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கடைசி முக்கியமான அளவு; இது சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட உதவும். குறிப்பிட்ட சூத்திரத்தில் மதிப்புகளை மாற்றவும் ${ displaystyle Delta _ {1}}$ மற்றும் ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • எங்கள் சமன்பாட்டில்:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 சமன்பாட்டின் மூன்று வேர்களைக் கண்டறியவும். சூத்திரத்துடன் செய்யுங்கள் ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, எங்கே ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ஆனாலும் என் சமமாக உள்ளது 1, 2 அல்லது 3... இந்த சூத்திரத்தில் பொருத்தமான மதிப்புகளை மாற்றவும் - இதன் விளைவாக, நீங்கள் சமன்பாட்டின் மூன்று வேர்களைப் பெறுவீர்கள்.
   • இல் உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பை கணக்கிடுங்கள் என் = 1, 2 அல்லது 3பின்னர் பதிலைச் சரிபார்க்கவும். உங்கள் பதிலைச் சரிபார்க்கும்போது உங்களுக்கு 0 கிடைத்தால், இந்த மதிப்பு சமன்பாட்டின் மூலமாகும்.
   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மாற்று 1 இல் ${ காட்சி நடை x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ மற்றும் கிடைக்கும் 0, அதாவது 1 சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்று.