உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• ஆலோசனை
• உங்களுக்கு என்ன தேவை

கணிதத்தில், காரணி பகுப்பாய்வு கொடுக்கப்பட்ட எண் அல்லது சமன்பாட்டின் தயாரிப்புடன் எண்கள் அல்லது வெளிப்பாடுகளைக் கண்டறிவது. காரணி பகுப்பாய்வு என்பது அடிப்படை இயற்கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு கற்றுக்கொள்வதற்கான ஒரு பயனுள்ள திறமையாகும்: வேலை செய்யும்போது திறமையாக காரணியாக்குவதற்கான திறன் கிட்டத்தட்ட முக்கியமானதாகும். இயற்கணித சமன்பாடுகள் அல்லது பிற பல்லுறுப்பு வடிவங்களுடன். இயற்கணித வெளிப்பாடுகளைக் குறைக்க காரணி பகுப்பாய்வு பயன்படுத்தப்படலாம், இது சிக்கலை எளிதாக்குகிறது. அதற்கு நன்றி, கையால் தீர்ப்பதை விட மிக விரைவாக சில சாத்தியமான பதில்களை நீங்கள் அகற்றலாம்.

படிகள்

3 இன் முறை 1: எண்களையும் அடிப்படை இயற்கணித வெளிப்பாடுகளையும் காரணிகளாக பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்

1. 

   
   
   ஒற்றை எண்களுக்கு விண்ணப்பிக்கும்போது காரணி பகுப்பாய்வின் வரையறையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். கருத்தியல் ரீதியாக எளிமையானது என்றாலும், நடைமுறையில், சிக்கலான சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் சவாலானது. எனவே, எளிதான காரணி பகுப்பாய்வு கருத்தியல் அணுகுமுறை ஒற்றை எண்களிலிருந்து தொடங்கி பின்னர் மேம்பட்ட பயன்பாடுகளுடன் தொடர்வதற்கு முன் எளிய சமன்பாடுகளுக்குச் செல்வதாகும். காரணி கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கு ஒரே எண்ணின் தயாரிப்பு கொண்ட எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக, 1, 12, 2, 6, 3 மற்றும் 4 ஆகியவை 12 இன் காரணிகளாக இருக்கின்றன, ஏனெனில் 1 × 12, 2 × 6 மற்றும் 3 × 4 அனைத்தும் 12 க்கு சமம்.
   • வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் காரணிகள் எண்கள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது அந்த எண்ணால்.
   • 60 இன் முழு காரணியைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? 60 என்ற எண் பல வேறுபட்ட நோக்கங்களுக்காகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது (ஒரு மணி நேரத்தில் நிமிடங்கள், ஒரு நிமிடத்தில் வினாடிகள், முதலியன) ஏனெனில் இது பல எண்களால் வகுக்கப்படுகிறது.
     • எண் 60 பின்வரும் காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, மற்றும் 60.

2. 

   
   
   மாறிகள் கொண்ட வெளிப்பாடுகளும் காரணியாக்கப்படலாம் என்பதை புரிந்து கொள்ளுங்கள். சுயாதீன எண்களுடன், எண்கணித குணகங்களைக் கொண்ட மாறிகள் காரணியாகவும் இருக்கலாம். இதைச் செய்ய, மாறியின் குணகத்தின் காரணிகளை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பகுப்பாய்வுகளை எவ்வாறு காரணியாக்குவது என்பதை அறிவது மாறிகளைக் கொண்ட எளிய மாற்றும் இயற்கணித சமன்பாடுகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, 12x ஐ 12 மற்றும் x இன் முடிவுகளாக மீண்டும் எழுதலாம். 12x ஐ 3 (4x), 2 (6x), என எழுத முடியும், மேலும் 12 இன் உத்தேசிக்கப்பட்ட பயன்பாட்டிற்கு மிகவும் பொருத்தமான எந்த காரணியையும் பயன்படுத்தலாம்.
     • நீங்கள் 12x பகுப்பாய்வு வரை கூட செல்லலாம் பல முறை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 3 (4x) அல்லது 2 (6x) இல் நிறுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை - முறையே 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) பெற 4x மற்றும் 6x ஐ பகுப்பாய்வு செய்யலாம். இந்த சூத்திரம் சமமானது.

3. 

   
   
   இயற்கணித சமன்பாடுகளை காரணியாக்க பெருக்கத்தின் துணை பண்புகளைப் பயன்படுத்துங்கள். சுயாதீன எண்கள் மற்றும் குணகங்கள் இரண்டையும் காரணிகளாக பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான உங்கள் அறிவைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எண்கள் மற்றும் மாறிகளின் பொதுவான காரணிகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் எளிய இயற்கணித சமன்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தலாம். பெரும்பாலும், சமன்பாடு முடிந்தவரை எளிமையாக இருக்க, மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். இந்த எளிய மாற்றம் பெருக்கத்தின் துணை இயல்புக்கு நன்றி - ஒவ்வொரு எண்ணிற்கும் a, b, மற்றும் c, எங்களிடம் உள்ளது: a (b + c) = ab + ac.
   • பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம். இயற்கணித சமன்பாடு 12x + 6 ஐ ஒரு காரணியாக மாற்றுவதற்கு, முதலில், 12x மற்றும் 6 இன் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் காண்கிறோம். 6 என்பது 12x மற்றும் 6 இரண்டையும் வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையாகும், எனவே நாம் வெறுமனே மாற்ற முடியும் சமன்பாட்டை 6 ஆக குறைக்கவும் (2x + 1).
   • அதே செயல்முறை எதிர்மறை அறிகுறிகளையும் பின்னங்களையும் தாங்கும் சமன்பாடுகளுக்கு பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டாக, x / 2 + 4 ஐ வெறுமனே 1/2 (x + 8) ஆகவும், -7x + -21 ஐ -7 (x + 3) ஆகவும் சிதைக்கலாம்.
   விளம்பரம்

3 இன் முறை 2: இருபடி சமன்பாடுகளை காரணிகளாக பகுப்பாய்வு செய்தல்

1. 

   சமன்பாடு இருபடி வடிவத்தில் இருப்பதை உறுதிசெய்க (கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி = 0). இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி + பிஎக்ஸ் + சி = 0 வடிவம் உள்ளது, இங்கு ஏ, பி மற்றும் சி மாறிலிகள் மற்றும் ஒரு நன்ஜெரோ (ஒரு என்பதை நினைவில் கொள்க இருக்கலாம் 1 அல்லது -1 க்கு சமம்). ஒரு-மாறி (x) சமன்பாட்டில் x இன் சதுரத்தைக் கொண்ட ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்கள் இருந்தால், நீங்கள் வழக்கமாக அடிப்படை இயற்கணித ஆபரேட்டரை சம அடையாளத்தின் ஒரு பக்கத்தில் 0 ஆக மாற்றலாம் மற்றும் கோடரியை விடலாம், மற்றும் பல. மறுபுறம்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணித சமன்பாடு 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 ஐ x + 6x + 9 = 0 ஆகக் குறைக்கலாம், இது ஒரு இருபடி வடிவமாகும்.
   • X, x, x மற்றும் பல போன்ற அதிக அடுக்குகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகள். இருபடி இருக்க முடியாது. அவை இருபடி, குவாட்டர்னரி, ... 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட x இன் சக்திகளைக் கொண்ட சொற்களை நீக்குவதன் மூலம் சமன்பாட்டைக் குறைக்க முடியாது.

2. 

   இருபடி சமன்பாடுகளுடன், a = 1 ஆக இருக்கும்போது, ​​நாம் (x + d) (x + e) ​​க்கு சிதைக்கிறோம், அங்கு d × e = c மற்றும் d + e = b. இருபடி சமன்பாடு x + bx + c = 0 வடிவத்தில் இருந்தால் (வேறுவிதமாகக் கூறினால், x = 1 இன் குணகம் என்றால்), ஒப்பீட்டளவில் வேகமான கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்த ஒரு வாய்ப்பு (ஆனால் நிச்சயமாக இல்லை) உள்ளது. இந்த சமன்பாட்டை காரணியாக்குவது எளிது. C க்கு சமமான இரண்டு எண்களைக் கண்டறியவும் மற்றும் தொகை சமம் b. நீங்கள் d மற்றும் e ஐக் கண்டறிந்ததும், அவற்றை பின்வரும் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றவும்: (x + d) (x + e). ஒன்றாகப் பெருக்கும்போது, ​​இந்த இரண்டு கூறுகளும் மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாட்டைக் கொடுக்கின்றன - வேறுவிதமாகக் கூறினால், அவை சமன்பாட்டின் காரணிகள்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, x + 5x + 6 = 0. 3 மற்றும் 2 ஆகிய இரு சமன்பாடு 6 இன் உற்பத்தியைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் மொத்தம் 5 ஐக் கொண்டுள்ளது. எனவே, நாம் சமன்பாட்டை (x + 3) x + 2).
   • சமன்பாடு கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கும்போது இந்த அடிப்படை விரைவான பிழைத்திருத்தம் கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கும்:
     • இருபடி சமன்பாடு x-bx + c வடிவத்தில் இருந்தால், உங்கள் பதில் வடிவத்தில் இருக்கும்: (x - _) (x - _).
     • இது x + bx + c வடிவத்தில் இருந்தால், உங்கள் பதில்: (x + _) (x + _).
     • இது x-bx-c இல் இருந்தால், உங்கள் பதில் (x + _) (x - _) வடிவத்தில் இருக்கும்.
   • குறிப்பு: இடைவெளிகளில் பின்னங்கள் அல்லது தசமங்களாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + (21/2) x + 5 = 0 என்ற சமன்பாடு (x + 10) (x + 1/2) ஆக சிதைகிறது.

3. 

   
   
   முடிந்தால், சோதனை மூலம் காரணி பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள். சிக்கலான இருபடி சமன்பாட்டின் மூலம், அதை நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, காரணியாக்கத்தின் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முறைகளில் ஒன்று சிக்கலைப் பார்ப்பது, பின்னர் சாத்தியமான அனைத்து பதில்களையும் ஒரு சரியான பதில். இது சோதனை முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.சமன்பாட்டில் கோடாரி + bx + c மற்றும் a> 1 வடிவம் இருந்தால், உங்கள் காரணிமயமாக்கல் வடிவம் (dx +/- _) (ex +/- _) இருக்கும், அங்கு d மற்றும் e மாறிலிகள் மற்றொன்று a க்கு சமமானதல்ல. d அல்லது e (அல்லது இரண்டும்) இருக்கலாம் 1 க்கு சமம், அது அவசியமில்லை என்றாலும். இரண்டுமே 1 க்கு சமமாக இருந்தால், மேலே காட்டப்பட்டுள்ள விரைவான வேலையை நீங்கள் அடிப்படையில் பயன்படுத்தியிருப்பீர்கள்.
   • பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு சிக்கலைக் கவனியுங்கள். முதல் பார்வையில், 3x - 8x + 4 மிகவும் அச்சுறுத்தலாக இருக்கிறது. இருப்பினும், 3 க்கு இரண்டு காரணிகள் (3 மற்றும் 1) மட்டுமே உள்ளன என்பதை நீங்கள் உணர்ந்தவுடன், சிக்கல் எளிதாகிறது, ஏனென்றால் பதில் வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும் (3x +/- _) (x +/- _). இந்த வழக்கில், இரு இடங்களிலும் -2 ஐ மாற்றுவது சரியான பதிலை அளிக்கிறது. -2 × 3x = -6x மற்றும் -2 × x = -2x. -6x மற்றும் -2x மொத்தம் -8x க்கு சமம். -2 × -2 = 4, ஆகையால், அடைப்புக்குறிக்குள் பாகுபடுத்தப்பட்ட கூறுகள் நமக்கு ஆரம்ப சமன்பாட்டைக் கொடுப்பதைக் காணலாம்.

4. 

   
   
   சதுரத்தை முடிப்பதன் மூலம் சிக்கலை தீர்க்கவும். சில சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு சிறப்பு இயற்கணித அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளை விரைவாகவும் எளிதாகவும் பெருக்கலாம். X + 2xh + h = (x + h) வடிவத்தின் எந்த இருபடி சமன்பாடும். எனவே, சமன்பாட்டில், b என்பது c இன் சதுர மூலத்தை விட இரண்டு மடங்கு இருந்தால், சமன்பாட்டை (x + (sqrt (c))) ஆக சிதைக்கலாம்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, x + 6x + 9 சமன்பாடு இந்த படிவத்திற்கு பொருந்தும். 3 என்பது 9 மற்றும் 3 × 2 க்கு சமம் 6. எனவே இந்த சமன்பாட்டின் காரணிமயமாக்கல் வடிவம் (x + 3) (x + 3), அல்லது (x + 3) என்பதை நாம் அறிவோம்.

5. 

   
   
   இருபடி சமன்பாடுகளை காரணிகளுடன் தீர்க்கவும். எந்த வகையிலும், இருபடி வெளிப்பாடு காரணியாகிவிட்டால், ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியமாகக் கொடுத்து அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் x இன் மதிப்புக்கு சாத்தியமான பதிலைக் காணலாம். சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் x இன் மதிப்பை நீங்கள் தேடுவதால், ஒரு காரணி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் எந்த x ஆனது அந்த சமன்பாட்டிற்கு சாத்தியமான தீர்வாக இருக்கும்.
   • X + 5x + 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் செல்லுங்கள். இது (x + 3) (x + 2) = 0 ஆக சிதைக்கப்படுகிறது. ஒரு காரணி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​முழு சமன்பாடும் பூஜ்ஜியமாகிறது. X இன் சாத்தியமான தீர்வுகள் முறையே 0, -3 மற்றும் -2 க்கு சமமான (x + 3) மற்றும் (x + 2) எண்களாகும்.

6. 

   உங்கள் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும் - சில கவர்ச்சியானதாக இருக்கலாம்! X இன் சாத்தியமான தீர்வுகளை நீங்கள் கண்டறிந்தால், அவை சரியானதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க அசல் சமன்பாட்டுடன் அவற்றை மாற்றவும். சில நேரங்களில் பதில் அதைக் கண்டுபிடிக்கும் எந்த பிரச்சினையும் இல்லை மாற்றும்போது அசல் சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இந்த தீர்வுகளை நாங்கள் அழைக்கிறோம் கவர்ச்சியான அவற்றை அகற்றவும்.
   • X + 5x + 6 = 0 க்கு -2 மற்றும் -3 ஐ மாற்றுவோம். முதல், -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. ஆம், எனவே -2 என்பது சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வாகும்.
   • இப்போது, ​​-3 உடன் முயற்சிப்போம்:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. இதுவும் உண்மை, எனவே -3 என்பது சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வாகும்.
   விளம்பரம்

3 இன் முறை 3: பிற வகை சமன்பாடுகளை காரணிகளாக பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்

1. 

   சமன்பாடு a-b வடிவத்தில் இருந்தால், அதை (a + b) (a-b) ஆக சிதைக்கவும். இரண்டு மாறி சமன்பாடு அடிப்படை இருபடி சமன்பாட்டை விட வித்தியாசமாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. A மற்றும் b nonzero ஆக இருக்கும் எந்த a-b சமன்பாடும் (a + b) (a-b) ஆக சிதைக்கப்படும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) சமன்பாடு.

2. 

   சமன்பாடு a + 2ab + b வடிவத்தில் இருந்தால், அதை (a + b) க்கு சிதைக்கவும். முக்கோண வடிவத்தில் இருந்தால் a-2ab + b, காரணிமயமாக்கல் வடிவம் சற்று வேறுபடும்: (a-b).
   • 4x + 8xy + 4y சமன்பாடுகளை 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y என மீண்டும் எழுதலாம். இப்போது அது சரியான வடிவத்தில் இருப்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் இந்த சமன்பாட்டின் காரணிமயமாக்கல் வடிவம் (2x + 2y) என்று நம்பிக்கையுடன் சொல்ல முடியும்.

3. 

   சமன்பாடு a-b வடிவத்தில் இருந்தால், அதை (a-b) (a + ab + b) க்கு சிதைக்கவும். இறுதியாக, மும்மை சமன்பாடுகள் மற்றும் உயர் வரிசை சமன்பாடுகள் கூட காரணியாக்கப்படலாம் என்று கூற வேண்டும். இருப்பினும், பகுப்பாய்வு செயல்முறை விரைவில் நம்பமுடியாத சிக்கலானதாக மாறும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, 8x - 27y (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
   விளம்பரம்

ஆலோசனை

• a-b ஐ காரணியாக்க முடியும், மேலும் ஒரு + b முடியாது.
• மாறிலிகளை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் - இது உதவியாக இருக்கும்.
• காரணிமயமாக்கல் செயல்பாட்டில் பின்னங்களுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள், அவற்றை சரியாகவும் சரியான முறையில் கையாளவும்.
• X + bx + (b / 2) திரிசூலத்துடன், அதன் காரணியாக்கம் (x + (b / 2)) ஆக இருக்கும் (சதுரத்தை முடிக்கும்போது இந்த சூழ்நிலையை நீங்கள் காணலாம்).
• A0 = 0 (சொத்து பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படுகிறது) என்பதை நினைவில் கொள்க.

உங்களுக்கு என்ன தேவை

• காகிதம்
• எழுதுகோல்
• கணித புத்தகம் (தேவைப்பட்டால்)