உள்ளடக்கம்

• படிகள்
• பகுதி 1 இன் 3: ஒரு செயல்பாட்டின் களத்தைக் கண்டறிதல்
• பகுதி 2 இன் 3: ஒரு இருபடி செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்
• 3 இன் பகுதி 3: ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை அதன் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறிதல்

ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிலும் இரண்டு மாறிகள் உள்ளன - சுயாதீன மாறி மற்றும் சார்பு மாறி, அதன் மதிப்புகள் சுயாதீன மாறியின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது. உதாரணமாக, செயல்பாட்டில் ஒய் = எஃப்(எக்ஸ்) = 2எக்ஸ் + ஒய் சுயாதீன மாறி x மற்றும் சார்பு மாறி y (வேறுவிதமாகக் கூறினால், y என்பது x இன் செயல்பாடு). சுயாதீன மாறி "x" இன் செல்லுபடியாகும் மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் டொமைன் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் சார்பு மாறியின் "y" இன் சரியான மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் டொமைன் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

படிகள்

பகுதி 1 இன் 3: ஒரு செயல்பாட்டின் களத்தைக் கண்டறிதல்

1. 1 உங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும். செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு "x" (கிடைமட்ட அச்சில் திட்டமிடப்பட்ட) அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகள் ஆகும், அவை "y" இன் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளுடன் ஒத்திருக்கிறது. செயல்பாடு இருபடி அல்லது பின்னங்கள் அல்லது வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் களத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் முதலில் செயல்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்க வேண்டும்.
   • இருபடி செயல்பாடு: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • பின்னம் கொண்ட செயல்பாடு: f (x) = (/_{எக்ஸ்}), f (x) = /_{(x - 1)} (போன்றவை).
   • வேர் கொண்ட செயல்பாடு: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (மற்றும் பல).
2. 2 செயல்பாட்டின் நோக்கத்திற்கு பொருத்தமான உள்ளீட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். நோக்கம் சதுரம் மற்றும் / அல்லது அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்டுள்ளது. ஒரு மதிப்பு ஒரு செயல்பாட்டின் எல்லைக்குள் இருக்கும்போது ஒரு சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது; மதிப்பு நோக்கம் இல்லை என்றால், அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. செயல்பாட்டில் வரையறையின் தொடர்ச்சியான பல களங்கள் இருந்தால், "U" சின்னம் அவற்றுக்கிடையே வைக்கப்படும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, டொமைன் [-2,10) U (10,2] மதிப்புகள் -2 மற்றும் 2 ஐ உள்ளடக்கியது, ஆனால் மதிப்பு 10 ஐ உள்ளடக்கவில்லை.
   • பெற்றோர்கள் எப்போதும் முடிவிலி சின்னத்துடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றனர் ∞.
3. 3 இருபடி செயல்பாட்டை திட்டமிடுங்கள். அத்தகைய செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரபோலா ஆகும், இதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி அல்லது கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. முழு எக்ஸ்-அச்சிலும் பரபோலா அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதால், இருபடி செயல்பாட்டின் களம் அனைத்து உண்மையான எண்களாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய செயல்பாட்டின் களம் R (R அனைத்து உண்மையான எண்களையும் குறிக்கிறது).
   • ஒரு செயல்பாட்டின் கருத்தை நன்கு புரிந்துகொள்ள, "x" இன் எந்த மதிப்பையும் தேர்ந்தெடுத்து, அதை செயல்பாட்டிற்கு மாற்றவும் மற்றும் "y" மதிப்பை கண்டறியவும். "X" மற்றும் "y" மதிப்புகளின் ஜோடி ஒருங்கிணைப்பின் (x, y) ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கிறது, இது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ளது.
   • ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் இந்த புள்ளியை வரையவும் மற்றும் விவரிக்கப்பட்ட செயல்முறையை வேறு "x" மதிப்புடன் பின்பற்றவும்.
   • ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் பல புள்ளிகளை திட்டமிடுவதன் மூலம், செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் வடிவத்தைப் பற்றிய பொதுவான யோசனை உங்களுக்கு கிடைக்கும்.
4. 4 செயல்பாட்டில் ஒரு பின்னம் இருந்தால், அதன் வகுப்பை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும். நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். எனவே, வகுப்பை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வதன் மூலம், செயல்பாட்டின் நோக்கத்தில் இல்லாத "x" க்கான மதிப்புகளைக் காண்பீர்கள்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, f (x) = / செயல்பாட்டின் களத்தைக் கண்டறியவும்_{(x - 1)}.
   • இங்கே வகுத்தல் (x - 1).
   • வகுப்பை பூஜ்ஜியமாக சமன் செய்து "x" கண்டுபிடிக்கவும்: x - 1 = 0; x = 1.
   • செயல்பாட்டின் நோக்கத்தை எழுதுங்கள். டொமைன் 1 ஐ உள்ளடக்கவில்லை, அதாவது, இது தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களையும் உள்ளடக்கியது. இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் டொமைன்: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • குறியீடானது (-∞, 1) U (1, ∞) இவ்வாறு படிக்கிறது: 1. தவிர அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு 1. முடிவிலி சின்னம் all என்றால் அனைத்து உண்மையான எண்கள். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 1 க்கும் அதிகமான மற்றும் 1 க்கும் குறைவான அனைத்து உண்மையான எண்களும் நோக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.
5. 5 செயல்பாட்டில் ஒரு சதுர வேர் இருந்தால், தீவிர வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். எதிர்மறை எண்களின் சதுர வேர் பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். எனவே, தீவிர வெளிப்பாடு எதிர்மறையாக மாறும் "x" இன் எந்த மதிப்பும் செயல்பாட்டின் நோக்கத்திலிருந்து விலக்கப்பட வேண்டும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, f (x) = √ (x + 3) செயல்பாட்டின் களத்தைக் கண்டறியவும்.
   • தீவிர வெளிப்பாடு: (x + 3).
   • தீவிர வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும்: (x + 3) ≥ 0.
   • "X" ஐக் கண்டறியவும்: x ≥ -3.
   • இந்த செயல்பாட்டின் நோக்கம் -3 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பையும் உள்ளடக்கியது. இவ்வாறு, டொமைன் [-3, ∞) ஆகும்.

பகுதி 2 இன் 3: ஒரு இருபடி செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்

1. 1 உங்களுக்கு இருபடி செயல்பாடு வழங்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்தவும். இருபடி செயல்பாட்டிற்கு வடிவம் உள்ளது: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. அத்தகைய செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரபோலா ஆகும், அதன் கிளைகள் மேல் அல்லது கீழ் நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. இருபடி செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறிய பல்வேறு முறைகள் உள்ளன.
   • ஒரு வேர் அல்லது பின்னம் செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிய எளிதான வழி, ஒரு கிராஃபிங் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி அந்த செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குவதாகும்.
2. 2 செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் உச்சியின் x- ஒருங்கிணைப்பை கண்டறியவும். இருபடி செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், பரபோலாவின் உச்சியின் x- ஒருங்கிணைப்பை கண்டுபிடிக்கவும். இருபடி செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: கோடரி + பிஎக்ஸ் + சி. X- ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிட, பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்: x = -b / 2a. இந்த சமன்பாடு அடிப்படை இருபடி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒரு தொடுதலை விவரிக்கிறது, அதன் சாய்வு பூஜ்யம் (பரபோலாவின் உச்சியில் தொடுதல் X அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது).
   • எடுத்துக்காட்டாக, 3x + 6x -2 செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறியவும்.
   • பரபோலாவின் உச்சியின் x- ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடுங்கள்: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் உச்சியின் y- ஒருங்கிணைப்பை கண்டுபிடிக்கவும். இதைச் செய்ய, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு "x" ஐ செயல்பாட்டிற்கு மாற்றவும். கோரப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு "y" என்பது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பின் வரம்பு மதிப்பாகும்.
   • Y- ஆயத்தை கணக்கிடுங்கள்: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • இந்த செயல்பாட்டின் பரபோலாவின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்புகள் (-1, -5).
4. 4 செயல்பாட்டில் குறைந்தது ஒரு x மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம் பரபோலாவின் திசையை தீர்மானிக்கவும். வேறு எந்த x மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, அதனுடன் தொடர்புடைய y மதிப்பை கணக்கிட செயல்பாட்டில் செருகவும். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு "y" என்பது பரபோலாவின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பு "y" ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், பரபோலா மேல்நோக்கி இயக்கப்படும். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு "y" என்பது பரபோலாவின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பு "y" ஐ விட குறைவாக இருந்தால், பரபோலா கீழ்நோக்கி இயக்கப்படும்.
   • செயல்பாட்டில் x = -2 ஐ மாற்று: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • பரபோலாவில் உள்ள புள்ளியின் ஆயங்கள் (-2, -2).
   • கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள் பரபோலாவின் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுவதைக் குறிக்கின்றன. எனவே, செயல்பாட்டு வரம்பு -5 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அனைத்து y மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது.
   • இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு: [-5, ∞)
5. 5 ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறை வரம்பைப் போலவே எழுதப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டு வரம்பில் மதிப்பு இருக்கும்போது சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது; மதிப்பு வரம்பில் இல்லை என்றால், அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. செயல்பாட்டில் தொடர்ச்சியான மதிப்புகள் இல்லாத வரம்புகள் இருந்தால், "U" சின்னம் அவற்றுக்கிடையே வைக்கப்படும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, வரம்பு [-2,10) U (10,2] மதிப்புகள் -2 மற்றும் 2 ஐ உள்ளடக்கியது, ஆனால் மதிப்பு 10 ஐ உள்ளடக்கவில்லை.
   • பெற்றோர்கள் எப்போதும் முடிவிலி சின்னத்துடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றனர் ∞.

3 இன் பகுதி 3: ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை அதன் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறிதல்

1. 1 செயல்பாட்டை திட்டமிடுங்கள். பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவதன் மூலம் அதன் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறிவது எளிது. வேர்களைக் கொண்ட பல செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்பு (-∞, 0] அல்லது [0, + ∞) ஆகும், ஏனெனில் பரபோலாவின் உச்சம் வலப்புறம் அல்லது இடதுபுறம் இயக்கப்பட்டதால் X- அச்சில் உள்ளது. , வரம்பில் அதிகரித்தால் "y" இன் அனைத்து நேர்மறையான மதிப்புகள் அல்லது பரவளையம் குறைந்துவிட்டால் அனைத்து எதிர்மறை y மதிப்புகளும் வரம்பில் அடங்கும். பின்ன செயல்பாடுகளுக்கு அவற்றின் வரம்பை வரையறுக்கும் அறிகுறிகளே உள்ளன.
   • வேர்கள் கொண்ட சில செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் நுனிகள் X- அச்சுக்கு மேலே அல்லது கீழே உள்ளன. இந்த விஷயத்தில், மதிப்புகளின் வரம்பு பரபோலா உச்சியின் "y" ஒருங்கிணைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒரு பரபோலாவின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பு "y" -4 (y = -4), மற்றும் பரவளையம் அதிகரிக்கிறது என்றால், மதிப்புகளின் வரம்பு [-4, + ∞).
   • ஒரு கிராஃபிக் கால்குலேட்டர் அல்லது சிறப்பு மென்பொருளைப் பயன்படுத்துவது ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்க எளிதான வழி.
   • உங்களிடம் கிராஃபிங் கால்குலேட்டர் இல்லையென்றால், பல x மதிப்புகளைச் செயல்பாட்டில் இணைத்து, அதனுடன் தொடர்புடைய y மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் ஒரு கடினமான வரைபடத்தை உருவாக்கவும். வரைபடத்தின் வடிவத்தைப் பற்றிய பொதுவான யோசனையைப் பெற ஒருங்கிணைந்த விமானத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளிகளைத் திட்டமிடவும்.
2. 2 செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தைக் கண்டறியவும். நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைத் திட்டமிடும்போது, ​​செயல்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்ச மதிப்பு இருக்கும் புள்ளியை நீங்கள் காண்பீர்கள்.வெளிப்படையான குறைந்தபட்சம் இல்லை என்றால், அது இல்லை, மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் -∞ க்கு செல்கிறது.
   • செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பானது "y" இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. பெரும்பாலும், இத்தகைய செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்புகள் பின்வருமாறு எழுதப்படுகின்றன: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை தீர்மானிக்கவும். ஒரு செயல்பாட்டை நீங்கள் திட்டமிட்டவுடன், செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பு இருக்கும் புள்ளியை நீங்கள் காண்பீர்கள். வெளிப்படையான அதிகபட்சம் இல்லை என்றால், அது இல்லை, மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் + to க்கு செல்கிறது.
4. 4 ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறை வரம்பைப் போலவே எழுதப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டு வரம்பில் மதிப்பு இருக்கும்போது சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது; மதிப்பு வரம்பில் இல்லை என்றால், அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. செயல்பாட்டில் தொடர்ச்சியான மதிப்புகள் இல்லாத வரம்புகள் இருந்தால், "U" சின்னம் அவற்றுக்கிடையே வைக்கப்படும்.
   • எடுத்துக்காட்டாக, வரம்பு [-2,10) U (10,2] மதிப்புகள் -2 மற்றும் 2 ஐ உள்ளடக்கியது, ஆனால் மதிப்பு 10 ஐ உள்ளடக்கவில்லை.
   • பெற்றோர்கள் எப்போதும் முடிவிலி சின்னத்துடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றனர் ∞.