உள்ளடக்கம்

• ஆரம்ப தகவல்
• படிகள்
• 3 இன் பகுதி 1: அடிப்படைகள்
• பகுதி 2 இன் 3: லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் பண்புகள்
• 3 இன் பகுதி 3: தொடர் விரிவாக்கத்தின் மூலம் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கண்டறிதல்

லாப்லேஸ் மாற்றம் ஒரு ஒருங்கிணைந்த மாற்றமாகும், இது நிலையான குணகங்களுடன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்க பயன்படுகிறது. இந்த மாற்றம் இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நீங்கள் பொருத்தமான அட்டவணையைப் பயன்படுத்த முடியும் என்றாலும், லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வது உதவியாக இருக்கும், தேவைப்பட்டால் அதை நீங்களே செய்யலாம்.

ஆரம்ப தகவல்

• ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டது ${ காட்சி உடை f (t)}$க்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ${ displaystyle t geq 0.}$ பிறகு லேப்லேஸ் உருமாற்றம் செயல்பாடு ${ காட்சி உடை f (t)}$ ஒவ்வொரு மதிப்பின் அடுத்த செயல்பாடு ${ காட்சி உடை கள்}$, இதில் ஒருங்கிணைப்பு இணைகிறது:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• லாப்லேஸ் உருமாற்றம் t- பிராந்தியத்திலிருந்து (கால அளவு) s- பகுதிக்கு (உருமாற்றப் பகுதி) ஒரு செயல்பாட்டை எடுக்கும், அங்கு ${ காட்சி உடை F (கள்)}$ ஒரு சிக்கலான மாறி ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு ஆகும். செயல்பாட்டை எளிதாகக் காணக்கூடிய பகுதிக்குச் செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.
• வெளிப்படையாக, லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டர், எனவே நாம் ஒரு தொகை விதிமுறைகளைக் கையாளுகிறோம் என்றால், ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக கணக்கிடலாம்.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைந்தால் மட்டுமே லாப்லேஸ் மாற்றம் வேலை செய்யும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். செயல்பாடு என்றால் ${ காட்சி உடை f (t)}$ இடைநிறுத்தங்களைக் கொண்டுள்ளது, நிச்சயமற்ற தன்மையைத் தவிர்ப்பதற்காக கவனமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளை சரியாக அமைக்க வேண்டும்.

படிகள்

3 இன் பகுதி 1: அடிப்படைகள்

1. 1 செயல்பாட்டை லாப்லேஸ் உருமாற்ற சூத்திரத்தில் மாற்றவும். கோட்பாட்டளவில், ஒரு செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் உருமாற்றம் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. உதாரணமாக, செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, எங்கே ${ காட்சி உடை a}$ உடன் ஒரு சிக்கலான மாறிலி ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 கிடைக்கக்கூடிய முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுங்கள். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மதிப்பீடு மிகவும் எளிதானது மற்றும் எளிய கணக்கீடுகளுடன் நீங்கள் பெறலாம். மிகவும் சிக்கலான சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் சிக்கலான முறைகள் தேவைப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பு அல்லது ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபாடு. கட்டுப்பாடு நிலை ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைகிறது, அதாவது அதன் மதிப்பு 0 ஆக இருக்கும் ${ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​டி முதல் இன்படி.}$
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {சீரமைக்கப்பட்டது}}}$
   • யூலரின் சூத்திரத்தின்படி, இது சைன் மற்றும் கொசைனுடன் இரண்டு வகையான லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தை நமக்கு வழங்குகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. ${ displaystyle e ^ {iat}}$... இந்த வழக்கில், வகுப்பில் நாம் பெறுகிறோம் ${ displaystyle s-ia,}$ மேலும் இது உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளைத் தீர்மானிக்க மட்டுமே உள்ளது. நீங்கள் நேரடியாக முடிவை மதிப்பீடு செய்யலாம், ஆனால் அதற்கு சிறிது நேரம் ஆகும்.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 ஒரு சக்திச் செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கவனியுங்கள். முதலில், மின்சக்தி செயல்பாட்டின் மாற்றத்தை நீங்கள் வரையறுக்க வேண்டும், ஏனெனில் நேரியல் சொத்து உங்களை மாற்றத்தைக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது எல்லாவற்றிலும் பல்லுறுப்புகள். படிவத்தின் ஒரு செயல்பாடு ${ displaystyle t ^ {n},}$ எங்கே ${ காட்சி நடை n}$ - எந்த நேர்மறை முழு எண். ஒரு தொடர்ச்சியான விதியை வரையறுக்க துண்டு துண்டாக ஒருங்கிணைக்க முடியும்.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • இந்த முடிவு மறைமுகமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் நீங்கள் பல மதிப்புகளை மாற்றினால் ${ displaystyle n,}$ நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை நிறுவலாம் (அதை நீங்களே செய்ய முயற்சி செய்யுங்கள்), இது பின்வரும் முடிவைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • காமா செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பின்ன சக்திகளின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தையும் நீங்கள் வரையறுக்கலாம். உதாரணமாக, இந்த வழியில் நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றத்தைக் காணலாம் ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • பகுதியளவு சக்திகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் வெட்டுக்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (நினைவில் கொள்ளுங்கள், எந்த சிக்கலான எண்களும் ${ காட்சி உடை z}$ மற்றும் ${ displaystyle alpha}$ என எழுதலாம் ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, ஏனெனில் ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), அவை எப்போதும் இடது அரை விமானத்தில் வெட்டுக்கள் இருக்கும் வகையில் வரையறுக்கப்படலாம், இதனால் பகுப்பாய்வில் சிக்கல்களைத் தவிர்க்கலாம்.

பகுதி 2 இன் 3: லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் பண்புகள்

1. 1 செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தை பெருக்கினால் கண்டுபிடிப்போம் இஒருடி{ காட்சி உடை e ^ {at}}. முந்தைய பிரிவில் பெறப்பட்ட முடிவுகள், லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் சில சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கண்டறிய எங்களுக்கு அனுமதித்தது. கொசைன், சைன் மற்றும் அதிவேக செயல்பாடு போன்ற செயல்பாடுகளின் லாப்லேஸ் மாற்றம் மின் செயல்பாடு மாற்றத்தை விட எளிமையானதாகத் தெரிகிறது. மூலம் பெருக்கல் ${ காட்சி உடை e ^ {at}}$ t- பகுதியில் ஒத்துள்ளது மாற்றம் s- பகுதியில்:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • இந்த சொத்து உடனடியாக செயல்பாடுகளின் மாற்றத்தைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிடாமல்:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தை பெருக்கினால் கண்டுபிடிப்போம் டிஎன்{ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^ {n}}. முதலில், பெருக்கத்தைக் கருதுங்கள் ${ காட்சி உடை t}$... வரையறையின்படி, ஒருவர் ஒரு செயல்பாட்டை ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வேறுபடுத்தி வியக்கத்தக்க எளிய முடிவைப் பெறலாம்:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • இந்த செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்வதன் மூலம், இறுதி முடிவை நாங்கள் பெறுகிறோம்:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} கள் ^ {n}}}}$
   • ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாட்டின் ஆபரேட்டர்களின் மறுசீரமைப்புக்கு சில கூடுதல் நியாயங்கள் தேவைப்பட்டாலும், நாங்கள் அதை இங்கு முன்வைக்க மாட்டோம், ஆனால் இறுதி முடிவு அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால் இந்த செயல்பாடு சரியானது என்பதை மட்டும் கவனிக்கவும். மாறிகள் என்ற உண்மையையும் நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம் ${ காட்சி உடை கள்}$ மற்றும் ${ காட்சி உடை t}$ ஒருவருக்கொருவர் சார்ந்து இல்லை.
   • இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, இது போன்ற செயல்பாடுகளின் மாற்றத்தைக் கண்டறிவது எளிது ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$பகுதிகளால் மறு ஒருங்கிணைப்பு இல்லாமல்:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கண்டறியவும் எஃப்(ஒருடி){ displaystyle f (at)}. ஒரு உருமாற்றத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி u உடன் மாறியை மாற்றுவதன் மூலம் இதை எளிதாகச் செய்யலாம்:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F இடது ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • மேலே, லாப்லேஸ் செயல்பாடுகளின் மாற்றத்தைக் கண்டோம் ${ displaystyle sin at}$ மற்றும் ${ displaystyle cos at}$ அதிவேக செயல்பாட்டிலிருந்து நேரடியாக. இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்தி, உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளை நீங்கள் கண்டால் அதே முடிவைப் பெறலாம் ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 வழித்தோன்றலின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கண்டறியவும் எஃப்′(டி){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. முந்தைய உதாரணங்களைப் போலல்லாமல், இந்த விஷயத்தில் வேண்டும் துண்டு துண்டாக ஒருங்கிணைக்கவும்:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} { infty} f ^ { prime} (t ) ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • பல உடல் பிரச்சனைகளில் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் ஏற்படுவதால், அதற்கும் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் காண்கிறோம்:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • பொது வழக்கில், n வது வரிசை வழித்தோன்றலின் லாப்லேஸ் மாற்றம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது (இது லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 இன் பகுதி 3: தொடர் விரிவாக்கத்தின் மூலம் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கண்டறிதல்

1. 1 ஒரு கால செயல்பாட்டிற்கான லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். கால செயல்பாடு நிலைமையை திருப்திப்படுத்துகிறது ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ எங்கே ${ காட்சி உடை T}$ செயல்பாட்டின் காலம், மற்றும் ${ காட்சி நடை n}$ ஒரு நேர்மறை முழு எண் சிக்னல் செயலாக்கம் மற்றும் மின் பொறியியல் உள்ளிட்ட பல பயன்பாடுகளில் அவ்வப்போது செயல்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எளிய மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { சீரமைக்கப்பட்டது}}}$
   • நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், ஒரு காலத்திற்கு லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைச் செய்தால் போதுமானது.
2. 2 இயற்கை மடக்கைக்கு லாப்லேஸ் மாற்றத்தை செய்யவும். இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்த முடியாது. காமா செயல்பாடு மற்றும் அதன் தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி இயற்கை மடக்கை மற்றும் அதன் டிகிரிகளை மதிப்பிடலாம். யூலர்-மாஷெரோனி மாறிலியின் இருப்பு ${ displaystyle gamma}$ இந்த ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதற்கு, தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம் என்பதைக் காட்டுகிறது.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 இயல்பற்ற சின்க் செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தைக் கவனியுங்கள். செயல்பாடு ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ சமிக்ஞை செயலாக்கத்திற்கு பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் இது முதல் வகை மற்றும் பூஜ்ஜிய வரிசையின் கோள பெசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம் ${ காட்சி உடை j_ {0} (x).}$ இந்த செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் மாற்றத்தையும் நிலையான முறைகளால் கணக்கிட முடியாது. இந்த வழக்கில், தொடரின் தனிப்பட்ட உறுப்பினர்களின் மாற்றம், அவை சக்தி செயல்பாடுகளாகும், எனவே அவற்றின் மாற்றங்கள் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ஒன்றிணைகின்றன.
   • முதலில், செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை ஒரு டெய்லர் தொடரில் எழுதுகிறோம்:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • இப்போது நாம் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட ஒரு மின் செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். காரணிகள் ரத்து செய்யப்பட்டன, இதன் விளைவாக ஆர்க்டாங்கண்டிற்கான டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது சைனுக்கான டெய்லர் தொடரை ஒத்த ஒரு மாற்று தொடர், ஆனால் காரணிகள் இல்லாமல்:
     • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} {n = 0} { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = பழுப்பு- {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$